Normālais sadalījums

4. Normālais sadalījums

4.1. Normālā sadalījuma funkcijas un grafiskie attēli

4.1.1. Diferenciālā un integrālā funkcija, to grafiskie attēli

Dabas un sociālajās zinātnēs pētāmie objekti un parādības parasti veido sadalījumus ar izteiktu vienību koncentrāciju sadalījuma centrā. Izdarot grupēšanu pēc pētāmās pazīmes un izgatavojot tam atbilstošo stabiņu diagrammu (histogrammu), iegūstam raksturīgu piramīdveida figūru. Ja novērojumu skaits ir liels un grupēšanas intervāli mazi, šī piramida tuvojas īpašai figūrai, ko ierobežo zvanveida līkne, t.s. Gausa līkne. Tas ir normālā sadalījuma diferenciālās funkcijas grafiskais attēls (skat. 4.1. attēlu). Tātad normālais sadalījums ir robeža, uz kuru tiecas daudzi empīriskie sadalījumi. Normālo sadalījumu var uzlūkot par šo empīrisko sadalījumu matemātisko modeli.

Empīriskā sadalījuma uzkrāto biežumu stabiņu diagrammas virsotnes, savukārt, labi apraksta īpaša S veida līkne, kas ir normālā sadalījuma integrālā funkcija (4.2. attēls).

Normālā sadalījuma likumam ir fundamentāla nozīme dažādu mērījumu un citu kvantitatīvu novērojumu kļūdu izvērtēšanā.

4.1. attēls. Histogramma un normālā 4.2. attēls. Uzkrāto biežumu diagramma

sadalījuma diferenciālā (kumulāta) un normālā sadalījuma

funkcija integrālā funkcija

Normālā sadalījuma funkcijas vispārējā veidā un to līknes ir šādas:

Diferenciālā funkcija : Integralā funkcija :

(4.1)

(4.2)

4.3. attēls. Normālā sadalījuma diferenciālā un integrālā funkcija.

4.1.2. Normālā sadalījuma parametri

Normālā sadalījuma funkcijās ir divi parametri, skaitliskas konstantes, kas dažādos uzdevumos ir dažādi.

1. - gadījumlieluma vidējā vērtība (uzdevuma robežās konstante; dažādos uzdevumos
dažādi lielumi).

2. s - gadījumlieluma standartnovirze (uzdevuma robežās konstante, dažādos uzdevumos dažādi
lielumi).

Teorētiski vietā būtu jāņem matemātiskā cerība m un s vietā - gadījuma lieluma standartnovirze . Praktiski pēc novērojumu datiem var izrēķināt tikai izlases vidējo un standartnovirzi un s, tādēļ funkcijās jau ir izdarīti attiecīgi aizvietojumi.

Bez tam funkcijās ir divas universālas skaitliskas konstantes:

(naturâlo logaritmu bâze)

x - gadījuma lieluma mainīgā vērtība (arguments), brīvi izvēlēts lielums. Šajās funkcijās

tas ir izteikts sākotnējās skaita, svara v.c. vienībās.

4.1.3. Normālā sadalījuma īpašības

Līdz šim normālā sadalījuma līkni zīmējām kā vispārēju shēmu, nesaistot to ar konkrētiem mērogiem. Ja līkni zīmē konkrētā mērogā, tad viņa ir atkarīga no diviem sadalījuma parametriem: vidējā lieluma un standartnovirzes s. Šie lielumi principā var būt jebkuri skaitļi. Tie ir jāaprēķina pēc empīriskiem datiem pirms normālā sadalījuma funkciju pierakstīšanas.

Galvenās normālā sadalījuma īpašības ir šādas.

1. Mainoties vidējai vērtībai , normālā sadalījuma līkne pārvietojas x ass virzienā, saglabājot sākotnējo formu. Ja ir lielāks, līkne atrodas vairāk pa labi, lielāko skaitļu apgabalā, un otrādi. (4.4. attēls).

4.4. attēls. Normālā sadalījuma līknes ar dažādām vidējo lielumu un vienādām standartnoviržu
vērtībām ; s₁=s₂=s₃

2. Mainoties standartnovirzei, līknes novietojums uz x ass nemainās, bet mainās tās forma. Pieaugot standratnovirzei s, samazinās līknes maksimālā ordināta, līkne itkā pieplok abscisu asij. Samazinoties standartnovirzei, līknes maksimālā ordināta pieaug, līkne kļūst stāvāka.
(4.5 attēls)

4.5. attēls. Normālā sadalījuma līknes ar vienādām vidējo lielumu
un dažādām standartnoviržu vērtībām : ; .

3. No iepriekšējā nevar secināt, ka, mainot standartnovirzi, mainās līknes ekscess. Ja ekscesu mērī ar ceturtās kārtas standartizēto momentu , tas visu laiku paliek skaitlis 3. Šo lielumu pieņem par ekscesa standartu. Tātad šāds ekscesa rādītājs raksturo līknes smailumu ar noteikumu, ka variācija (standartnovirze) ir fiksēta.

4. Normālā sadalījuma diferencialās funkcijas līkne ir simetriska pret aritmētisko vidējo. Šī sadalījuma asimetrijas koeficients - trešās kārtas standartizētais moments ir nulle.

5. Līknes virsotne (maksimums) atbilst gadījumlieluma vidējai vērtībai (aritmētiskam vidējam). Ar šo lielumu sakrīt arī sadalījuma moda un mediāna. Tā kā sadalījums ir simetrisks pret vidējo, puse no novērojumiem ir mazāki par vidējo, puse - lielāki. Attēlā perpendikuls, vilkts pret abscesu asi punktā , dala laukumu zem līknes divās vienādās daļās.

Normālā sadalījuma funkcijas aprēķina vai nu ar datoru, izmantojot īpašu programmu, vai nolasa matemātiskās tabulās.

Izskaitļot normālā sadalījuma funkcijas katram uzdevumam atšķirīgām vidējā un standartnovirzes vērtībām ir apgrūtinoši. Sastādīt tādas normālā sadalījuma tabulas ir vienkarši neiespējami, jo un s vērtību var būt neierobežoti daudz.

Tādēļ normālā sadalījuma funkcijas aprēķina nevis sākotnējām, bet standartizētām gadījumlieluma vērtībām. Standartizāciju izdara ar plaši lietoto formulu

. (4.3)

Kad ir noteikta vajadzīgā normalā sadalījuma funkcija, ja uzdevuma saturs to prasa, var atgriezties pie sākotnējām gadījuma lieluma vērtībām x, izdarot inverso standartizāciju jeb destandartizāciju.

Varam atzīmēt vēl dažas citas normālā sadalījuma īpašības.

6. Par standartizētu normālo sadalījumu sauc sadalījumu, kura vidējā vērtība ir nulle, un standartnovirze - viens, s=1. Šāda sadalījuma empirisko analogu iegūtu, zīmējot histogrammu standartizētiem datiem. Standartizētu normālo sadalījumu apzīmē ar simbolu N (0;1). Ja normālo sadalījumu sākotnējām x vērtībām ir neierobežoti daudz, tad standartizēts normālais sadalījums ir viens vienīgs. Tieši šādam sadalījumam ir sastādītas matemātiskās skaitļošanas tabulas.

7. Normālā sadalījuma diferenciālās funkcijas līknes pārliekuma punkti atrodas vienas standartnovirzes attālumā no vidējā. To abscisas sākotnējā skalā ir un , bet standartizētā t skalā - 1 un +1.

4.6. attēls. Vienu standartnovirzi lieli apgabali zem normālā sadalījuma līknes

8. Starp perpendikuliem, kas novilkti pret abscisu asi atbilstoši līknes pārliekuma punktiem, atrodas 68,27% (aptuveni 68%) no laukuma zem līknes (arī no novērojumiem ģenerālkopā, ko modelē normālais sadalījums).

Ja novelk perpendikulus divu un triju standartnoviržu attālumā no vidējā, tad starp tiem atrodas attiecīgi 95,45 95% un 99,73% 100% no laukuma zem līknes.

Šīs īpašības ir jāizmanto, izdarot uzdevumu atrisinājumu loģisku novērtēšanu. Tāda novērtēšana atklāj lielāko daļu iespējamo kļūdu.

4.1.4. Standartizēts normālais sadalījums

Par standartizētu sauc normālo sadalījumu, kura vidējais ir nulle, bet standartnovirze - viens. Šāda sadalījuma funkcijas ir vienkāršākas nekā iepriekš uzrādītās vispārējā gadījumlieluma funkcijas.

Diferenciālā funkcija ir šāda

, (4.4)

bet integrālā :

. (4.5)

Diferenciālo funkciju vajadzības gadījumā var izskaitļot. Tā ir arī tabulēta. Ja vajag aprēķināt normālā sadalījuma līknes ordinātu, kad standartnovirze nav 1, izmanto formulu :

. (4.6)

Nenoteiktā integrāļa vietā lieto noteiktā integrāļa funkcijas. Tās var tabulēt, un viņas atšķiras ar integrēšanas robežām. Grāmatās ir sastopamas trīs veidu noteiktā integrāļa tabulas, kuras, izdarot nelielus pārrēķinus, ir savstarpēji samaināmas.

1. . (4.7)

Tā ir varbūtība, ka standartizēts gadījumlielums T kārtējā izmēģinājumā iegūs vērtību no līdz t . Ģeometriski to attēlo laukuma daļa zem normālā sadalījuma diferenciālās funkcijas līknes no kreisa zara līdz perpendikulam pret punktu t (4.7. attēla kreisā puse). Ja ir uzzīmēta integrālās funkcijas līkne, ir punkta ordināta, kurā pret t vilkts perpendikuls krusto līkni (4.7. attēla labā puse).

4.7. attēls. Divas normālā sadalījuma integrālās funkcijas ģeometriskas interpretācijas.

2. . (4.8)

Tā ir varbūtība, ka standartizēts gadījuma lielums T kārtējā izmēģinājumā iegūs vērtību no - t līdz +t Ģeometriski to attēlo simetriska laukuma daļa zem līknes centra (4.8. attēls).

4.8. attēls. Simetrisks pret aritmētisko vidējo laukums zem normālā sadalījuma līknes.

3. , (4.9)

kura interpretācija ir analoga (4.9. attēls).

4.9. attēls. Puse simetriska pret aritmētisko vidējo laukuma zem normālā sadalījuma līknes.

4.2. Normālā sadalījuma lietošana

4.2.1. Tiešie uzdevumi : dotā intervāla vārbūtība

Vienkāršākie normālā sadalījuma uzdevumi prasa atrast varbūtību, ka gadījumlielums x atradīsies dotajā intervālā. Par tiešajiem uzdevumiem tos sauc tādēļ, ka šādas varbūtības atrod, lietojot matemātiskās tabulas vai programmas tiešā veidā.

1.uzdevums.

Fasēšanas cehā iesver preci pakās pa 2 kg. Svēršanas kļūdas veido normālu sadalījumu ar standartnovirzi 5 gr. Atrast varbūtību, ka kārtējā paka saturēs preci, kuras neto svars nav mazāks par 1990 gr. un nav lielāks par 2010 gr.

Uzdevuma analīze un atrisinājums. Strādājot ar empīriskās statistikas metodēm, vajadzētu ņemt izlasi no sasvērtām pakām, izdarīt to kontrolsvēršanu ar precīzākiem svariem, izveidot iegūto rezultātu variācijas rindu, saskaitīt to intervālu biežumus, kas atbilst prasītajam lielajam intervālam.

Pieņemsim, ka ir pārsvērtas 100 pakas un iegūti šādi rezultāti (4.1 tabula un 4.10. attēls).

4.1 tabula

1. uzdevuma empīrisks atrisinājums.

1985-1990

1990-1995

1995-2000

2000-2005

2005-2010

2010-2015

100

4.10. attēls. 1. uzdevuma empīriska atrisinājuma grafisks attēls
(uzdevumam atbilstošie stabiņi svītroti)

Novērtējot rezultātus, var secināt, ka izlasē 95% no pakām iekļaujas prasītajās svara robežās. Ja izlase ir pietiekami reprezentatīva, var teikt, ka ar varbūtību 0,95 ir sagaidāms, ka nejauši ņemtas pakas svars atradīsies šajās robežās. Grafiskajā attēlā uzdevuma nosacījumiem atbilstošie stabiņi iesvītroti.

Šādai empīriskai pieejai ir zināmi trukumi.

1. Izlase, kuru vērtējam kā reprezentatīvu kopumā, var nebūt pietiekami reprezentatīva atsevišķās grupās. Daži stabiņi histogrammā var būt negaidīti augsti vai zemi, salīdzinot ar blakus esošajiem stabiņiem. Normālā sadalījuma līknes uzdevums ir izlīdzināt šīs nejaušības.

2. Atrisinājums bija viegls tādēļ, ka prasītais lielais intervāls veidojās no veseliem intervāliem empīriskajā sadalījumā. Rastos nopietnas grūtības, ja uzdevumā prasītā intervāla robežas nesakristu ar empīriskā sadalījuma intervālu robežām. Izmantojot normālo sadalījumu, var izmantot jebkuru interesējošo intevālu (daļu zem līknes), bez kādiem ierobežojumiem.

Tomēr jātzīmē, ka empīrisko novērojumu dati ir jebkuru, arī teorētisku vispārinājumu, pamats. Ja nebūtu izdarīta preču kontrolsvēršana, no kurienes mēs uzzinātu, ka svara standartnovirze ir 5 grami?

Turpmāk izvirzīto uzdevumu atrisināsim, izmantojot normālo sadalījumu.

Grafiski uzdevuma atrisinājums nozīmē atrast, kāda daļa zem normālā sadalījuma līknes atrodas starp perpendikuliem, vilktiem punktos 1990 un 2010 g. sākotnējā svara skalā
(4.11 attēls).

4.11. attēls. 1. uzdevuma ar normālo sadalījumu iegūta atrisinājuma grafiska ilustrācija.

Izpildāmās darbības ir šādas.

1. Lai varētu izmantot normālā sadalījuma tabulas, abi dotie kritiskie punkti ir jāstandartizē, izmantojot formulu

Uzdevumā bija dots, ka (normatīvais svars) un .

Līdz ar to:

Skat. t-skalu iepriekšējā attēlā. Punktu vietas uz abscisu ass netiek mainītas.

2. Jāatrod normālā sadalījuma noteiktais integrāls no -2 līdz +2 (integrēšanas robežas). Tā kā abas robežas ir simetriskas pret vidējo, atbildi var tieši nolasīt tabulās

Tā arī ir atbilde. Ar varbūtību 0,95 var sagaidīt, ka kārtējās pakas svars būs prasītajās robežās.

3. Citu tabulu lietošana. Ja tabulas nav pieejamas, vai nav šīs funkcijas aprēķināšanas programma, var izmantot citas tabulas, piem., tabulas, kas ļauj atrast noteikto integrāli no -¥ līdz t. Izskaitļojumu pamato grafiskā analīze (4.12. attēls).

4.12. attēls. F(t) tabulu lietošanas grafiska ilustrācija.

Rezultāti drīkst atšķirties tikai par lietoto tabulu dažādiem noapaļojumiem.

2. uzdevums.

Audēju grupa, strādājot ar viena tipa stellēm, saražo vidēji uz vienu strādnieci 200 metrus maiņā ar standartnovirzi 20 metri. Kādu var sagaidīt strādnieču sadalījumu (procentos) pēc izstrādes, ja pieņem, ka sadalījums ir normāls. Konkrēti:

1. Cik procentu strādnieču noaudīs 180 - 230 m;

2. Cik procentu strādnieču noaudīs vairāk par 230 m;

3. Cik procentu strādnieču noaudīs mazāk par 180 m.

Analīze un atrisinājums.

Dotie lielumi : kritiskie punkti

Droši sagaidāma notikuma varbūtība (viens) jāsadala atbilstoši šiem punktiem trīs daļās. Ģeometriski to var saprast kā laukuma zem normālā sadalījuma līknes sadalīšanu trīs daļās (4.13.attēls).

(Empīriskās statistikas analogs - biežumu summēšana atbilstošajos histogrammas stabiņos - intervālos). Uzdevumu var interpretēt arī tā, ka jāatrod varbūtība, ar kuru var sagaidīt, ka kārtējās strādnieces darba ražīgums iekļausies kādā no prasītajiem intervāliem.

4.13.attēls. 2.uzdevuma grafiska ilustrācija.

1. Lai izmantotu normālā sadalījuma integrālās tabulas, kritisko punktu abscisas jāpārrēķina standartizētās vienībās:

Arī tos pierakstām attēlā 4.13.

2. Tālāk var izmantot normālā sadalījuma integralās funkcijas tabulas.

Visvieglāk atrisināt trešo jautājumu: cik strādnieču saražos mazāk par 180 metriem? Īpasvaru viena daļās var tieši nolasīt tabulās :.

Pareizinot ar 100, iegūstam 15,87%.

Otro jautājumu: cik strādnieču saražos vairāk par 230 metriem, var atrisināt šādi. No pilnas iespējamo gadījumliela vērtību kopas varbūtības 1 atņem varbūtību, ka kārtējā strādniece saražos mazāk par 230 metriem :

. Pareizinot ar 100, iegūstam 6,58% .

Pirmo jautājumu var atrisināt divējādi. Var izmantot tabulas.

Tad .

Pareizinot ar 100, iegūstam 77,45%.

Var izmantot arī tabulas. Tad laukuma centrālā daļa jāsadala divās daļās un tām atbilstošās varbūtības jāsummē

Pārbaude: .

Pārbaude, rēķinot ar divām dažādām tabulām, atklāj tabulu lietošanas kļūdas, bet neatklāj kļūdas kritisko punktu un to t vērtību noteikšanā.

4.2.2. Netiešie uzdevumi : dotās vārbūtības intervāls

Šie uzdevumi prasa atrast kritisko robežu (robežas), kas izdala normālā sadalījuma daļu (intervālu) atbilstoši dotai varbūtībai. Par netiešajiem uzdevumiem tos sauc tādēļ, ka matemātiskās tabulas, resp., programmas ir jālieto inversi (netieši).

3. uzdevums.

Audēju grupa, strādājot ar viena tipa stellēm, saražo vidēji uz 1 strādnieci 200 metrus maiņā ar standartnovirzi 20 metri.

Aprēķināt, kādā līmenī jānosaka izstrādes norma, ja vēlas, lai, nekāpinot darba razīgumu, to varētu izpildīt 90% audēju.

Analīze.

Dots, ka un . Šoreiz nav jāapreķina varbūtība, bet tā ir dota: varbūtība, ka strādniece neizpildīs normu, ir 0,1 (10%). Ir jāaprēķina kritiskais punkts (metri), kas atbilst šādai varbūtībai.

Grafiski laukums zem normālā sadalījuma līknes jāsadala divās daļās, lai kreisajā zarā (normas neizpildes apgabals) paliktu 10% un pārējā daļā (normas pārsniegšanas apgabals) - 90% (4.14. attēls).

Tā kā funkcija rāda laukuma daļu pa kreisi no t, varam rakstīt, ka ir dots un meklēt, kāda t vērtība to nodrošina.

4.14.attēls. Normāla sadalījuma netiešo uzdevumu grafiska ilustrācija (nostādne).

Atrisinājums.

1. Jāatrod t vērtība, kas nodrošina ; tabula jālieto inversi. Skaitlim 0,1 tuvākais skaitlis jātrod tabulas centrālajā daļā un tam atbilstošais t jānolasa tabulas ieejās. Atrodam, ka t = - 1,28 (ierakstām 4.15. attēlā).

2. No standartizētām t vienībām jāpāriet uz sākotnējām x vienībām (metriem). To izdara, inversi lietojot standartizācijas formulu .

Ievietojot iegūstam ,

no kā var izrēķināt, ka (metri, ierakstām 4.15. attēlā).

4.15. attēls. Normālā sadalījuma netiešo uzdevumu grafiska ilustrācija (atrisinājums).

Tātad, nosakot izstrādes normu 174 metri, var sagaidīt, ka to izpildīs un pārsniegs 90% strādnieču. Šāda prognoze attaisnosies, ja nedarbosies faktori, kas sistemātiski ietekmē daudzu vai pat visu strādnieču darba ražīgumu.

Tā kā šajā uzdevumā tiklab matemātiskās tabulas kā arī standartizācijas formulu lietojām netieši (inversi), tādus uzdevumus sauksim par netiešiem jeb inversajiem normālā sadalījuma uzdevumiem.

4.2.3. Normālā sadalījuma lietošana binomiālā sadalījuma vietā

4.uzdevums

Detaļas pēc mehāniskas apstrādes termiski norūda elektriskajā krāsnī. Vienā partijā krāsnī ieliek 1000 detaļas. Iepriekšējā pieredze rāda, ka teicami norūdīto detaļu (1.šķiras detaļu) iznākums ir 90%. Tātad vienas numurētas detaļas teicamas norūdīšanas varbūtība ir 0,9.

(Uzdevuma vienkāršošanai pieņem, ka iepriekšējās tehnoloģiskajās operācijas brāķa nav).

Aprēķināt varbūtības, ka no minētās 1000 detaļu partijas pirmās šķiras detaļu, būs:

1) ne mazāk kā 890 un ne vairāk kā 910;

2) ne mazāk kā 880?

Analīze.

Uzdevuma saturs ir formulēts tā, ka runa ir nevis par gadījumlielumu, bet par gadījumnotikumu.

Vabūtību, ka 1. šķiras detaļu būs ne mazāk kā 890 un ne vairāk ka 910, varētu atrast kā šādu varbūtību summu:

Summējamās varbūtības, savukārt, varētu atrast ar Bernulli formulu. Bet tad nāktos aprēķināt un saskaitīt 21 varbūtību. Uzdevuma otra jautājuma atrisināšanai būtu jāaprēķina un jāsaskaita 121 varbūtība, turklāt pa kādiem apkārtceļiem jāizvairās no ļoti lielu skaitļu faktoriālu aprēķināšanas, kas tieši nav izdarāms.

Lai izvairītos no ļoti lielām skaitļošanas grūtībām, uzdevumam precīzi atbilstošo binomiālo sadalījumu aizstājam ar normālo sadalījumu. Tuvinājums ir pietiekami labs, ja novērojumu skaits n> 50, bet pavisam labs, ja n>100 (mums 1000).

Atrisinājuma galvenā īpatnība būs tā, ka standartizācijas formulā ievietojamā vidējā vērtība un standratnovirze s nav aprēķināmas parastā veidā, bet pēc specifiskām binomiālā sadalījuma formulām

(4.10)

. (4.11)

Atrisinājums.

Atbilstoši binomiālā sadalījuma simboliem, ir dotas varbūtības p=0,9; q=0,1 un sērijas lielums n =1000.

Uzdevuma pirmajam jautājumam ir doti kritiskie punkti un .

1. Izdaram grafisko analīzi (4.16. attēls).

Jāatrod varbūtība, kas atbilst laukuma daļai zem normālā sadalījuma līknes starp perpendikuliem punktos m skalā 890 un 910. Tās ir argumenta kritiskās vērtības sākotnējā m skalā.

4.16.attēls. Normāla sadalījuma lietošana
binomiālā sadalījuma vietā.

2. Tā kā skaitļošanas tabulas ir sastādītas argumenta standartizētām vērtībām, abas kritiskās robežas ir jāstandartizē. Standartizācijas formulā

ir jāizdara šādi aizvietojumi: .

Iegūstam:

Skaidrības dēļ arī šo skalu ietveram attēlā.

3. Izmantojot matemātiskās tabulas, jāaprēķina vajadzīgā varbūtība, resp. laukuma daļa starp perpendikuliem.

Novērtējam, kuras tabulas ir vispiemērotākās. Tā kā , tad var lietot
tabulas, jo meklējamais laukums ir simetrisks pret vidējo.

Kontrole ar citām tabulām

Tabulas lietojam tieši, tādēļ uzdevumu var saukt par tiešo.

Lai atrastu otro prasīto varbūtību, izpildām tos pašus darbību soļus.

1. Uzzīmējam 4.17. attēlu:

4.17.attēls. Normālā sadalījuma lietošana binomiālā sadalījuma vietā
(otrais jautājums).

2. Izdarām kritiskā punkta standartizāciju

3. Jāatrod .

Šādu varbūtību tieši nolasīt nevar nevienā no pieiejamām tabulām. Toties var atrast varbūtību

Tā kā šī varbūtība un mūs interesejošā varbūtība kopā dod vienu, tad meklēto varbūtību var atrast kā starpību:

Ar šādu varbūtību var sagaidīt, ka pirmās šķiras detaļu nebūs mazāk par 880.

Atrisinājuma kontrole, izmantojot citas tabulas.

4.18.attēls. Laukumi zem normāla sadalījuma līknes.Y(t) tabulu lietošana.

4.2.4. Normālais sadalījums produkcijas kvalitātes kontrolei

Iepriekš aprēķinātās varbūtības ir samērā augstas. Praktiskajā ražošanā tik stabili rezultāti nemēdz būt. Šķietamā pretruna izskaidrojama ar to, ka praksē nevar nodrošināt, lai visi novērojumi (visu detaļu norūdīšanas rezultāti) būtu savstarpēji neatkarīgi. Tādu priekšnoteikumu prasa lietotais varbūtību teorijas modelis. Praksē nereti notiek tādas vai citādas novirzes no tehnoloģiskā režīma, kas ietekmē visu partiju. Tad praktiskie rezultāti var būtiski atšķirties no aprēķinātājiem. Piemēra ietvaros, izmainās kārtējās detaļas teicamas norūdīšanas varbūtība, piem., 0,9 vietā nāk 0,8.

Tādēļ aprēķinātās varbūtības nav fatāla garantija, ka rezultāti būs tieši tādi un ne citādi. Tās atspoguļo vienīgi to nenoteiktību un risku, ar ko saistīta ražošana (visu detaļu metāla masa nav ideāli vienāda un nav vienāda viņu kustību trajektorija krāsnī).

Tādēļ, atrastās varbūtības un ar tām saistītās kritiskās robežas var kalpot vienīgi tam, lai nospraustu kritērijus, kādus darba rezultātus var uzlūkot par normāliem. Ja praktiskā novērojumu sērija (partija) tam neatbilst, jāmeklē kādi būtiski, sistemātiski darbojošies cēloņi, tos radījuši. Ja novirzes ir negatīvas, trūkumi jānovērš. Ja pozitīvas, jācenšas saglabāt šīs partijas ražošanā radušās īpatnības, jo tādējādi var uzlabot ražošanu.

No pēdējā uzdevuma jau samērā tieši var pāriet uz t.s. kontroles karšu ideju. Šādas produkcijas kontroles kartes sastāda un analizē visi lielākie rūpniecības uzņēmumi. Kontroles kartes, ideja ir šāda.

Karti veido kā dinamikas rindas grafiku. Uz horizontālās ass atliek laika skalu atbilstoši produkcijas kvalitātes noteikšanas biežumam: dienas, stundas vai partijas. Uz vertikalās skalas atliek novērtējamo kvalitātes rādītāju. Iepriekšējā piemērā tas bija 1. šķiras detaļu īpatsvars. Citos gadījumos un vēl labāk izmantot kādu tieši izmērāmu rādītāju.

Kartes maketā (sagatavē) novelk horizontālas līnijas:

1. Centrālo līniju, kas atbilst vidējai praktiski sasniegtai produkcijas kvalitātei.

Iepriekšējā piemērā tas ir 1.šķiras detaļu īpatsvars 0,9 jeb 90%, jeb 900 no tūkstoša.

2. Divas pirmai līnijai paralēlas līnijas pa abām pusēm no tās vienu standartnovirzi lielā

attālumā. Piemērā, ja centrālo līniju novelk atbilstoši np=900, tad standartnovirze ir .

Paralēlās līnijas jāvelk 10 vienību attālumā (890 un 910).

3. Vēl kādas citas paralēlas līnijas, kas ietver citu, parasti lielāku daļu no laukuma zem normālā sadalījuma līknes: 90%, 95%, 99%.

Aizpildot karti pakāpeniski, atbilstoši kvalitātes kontroles rezultātiem atliek punktus un blakus esošos punktus savieno ar taisnes nogriežņiem.

4.19. attēls. Produkcijas kvalitātes kontrolkartes uzdevuma ilustrācija.

Lielās līnijās darba rezultātus novērtē šādi:

1. Visas atzīmes kartē novietojas starp kontroles līnijam.

Rezultāti uzrāda normālu līdz šim nenovēršamu

kvalitātes variāciju. Ražošanas process noris normāli.

2. Atzīmes bieži nonāk ārpus kontroles līnijām, gan

augstāk gan zemāk par tām. Rezultātu variācija

palielinās. Process draud kļūt nekontrolējams.

3. Atzīmes blīvējas zem vidus līnijas un bieži arī nonāk

ārpus apakšējās kontroles līnijas. Ražošanas

process pasliktinās. Mašīnas ir izregulējušās.

4.20. attēls. Kontrolkartes novērtēšana.

4.2.5. Normālā sadalījuma uzdevumu klasifikācija (kopsavilkums)

Uzdevumus, kurus atrisina ar normālā sadalījuma palīdzību, var iedalīt divās klasēs, jeb grupās.

1. Normālā sadalījuma patstāvīga lietošana, ja uzdevumā ir runa par nepārtrauktu gadījumlielumu, kura sadalījums ir normāls vai tuvs tam.

2. Normālā sadalījuma lietošana binomiālā (tātad diskrēta) sadalījuma vietā, izdarot tuvinātus aprēķinus, ja novērojumu skaits ir liels (4.uzdevums).

Starpība ir tā, ka pirmajā gadījumā vidējo lielumu un standartnovirzi aprēķina ar parastajām formulām

vajadzības gadījumā izmantojot statistiskos svarus. Var izmantot momentu formulas.

Otrajā gadījumā šos parametrus aprēķina ar specifiskām binomialā sadalījuma formulām:

Tālākie aprēķini abās grupās praktiski līdzīgi; atšķiras atkal rezultātu interpretācija.

Katras uzdevumu grupas jeb klases ietvaros izšķir divus uzdevumu tipus.

Tiešajos uzdevumos ir jāatrod varbūtības. Tās vairāk vai mazāk tieši var nolasīt matemātiskajās tabulās. (1., 2., 4 uzdevumi).

Inversajos jeb netiešajos uzdevumos pēc dotām varbūtībām ir jāatrod gadījuma lieluma robežvērtības. To var izdarīt lietojot matemātiskās tabulas inversi (netieši; 3.uzdevums).

Noskaidrojot, kurai no grupām atbilst risināmais uzdevums, kļūst iespējams izmantot tipveida atrisinājuma shēmu.

4.2.6. Normālā sadalījuma tabulu savstarpēja aizvietošana

Visas normālā sadalījuma integralās funkcijas un atbilstošās matemātiskās tabulas ir savstarpēji aizvietojamas. Piemērotāko tabulu lietošana ir saprotamāka un ekonomē skaitļošanas darbu.

Lai iemācītos brīvi lietot normālā sadalījuma tabulas un vajadzības gadījumā iztikt ar tām tabulām, kuras ir pie rokas, ir svarīgi zināt dažādu noteikto integrālu sakarības.

1. (4.12)

(skat. 4.21. attēlu).

Sakarība ir spēkā tādēļ, ka normālā sadalījuma līkne ir simetriska pret centru. Parasti tabulē tikai pozītīvām t vērtībām.

2. Jāievēro, ka (4.13)

jo šī funkcija ir ekvivalenta laukuma daļai zem līknes no līdz dotajiem t .

Negatīvām vērtībām tā ir mazāka par 0,5, pozitīvām - lielāka par 0,5 (loģiskā kontrole, skat. 4.22. attēlu).

3. vai . (4.14)

L₁ = L₂,
ja
ê-t ê= êt ê

4.21. attēls. un tabulu lietošana.

Funkcija ir ekvivalenta simetriskai laukuma daļai zem līknes tās centrā, bet šī laukuma pusei, ņemot no perpendikula līknes centrā (pret ).

4.22. attēls. F(t) tabulu lietošana

(4.15)

(4.16)

4.

Ja viena no funkcijām ir zināma, otru var aprēķināt ar vienkāršu darbību.

4.23. attēls. Vajadzīgās varbūtības aprēķināšana, izmantojot divu zināmo
varbūtību (laukumu) summu vai starpību.

5. Pareizinot abas iepriekšējās sakarības ar 2 un ņemot vērā, ka iegūstam

(4.17)

. (4.18)

Var pierakstīt arī vēl citas sakarības. Tās nav nepieciešams iemācīties no galvas. Tās var viegli izdomāt, ja ir zināmas funkciju un integrēšanas robežas un izprasts tām atbilstošo laukumu izvietojums zem līknes. Visbiežāk tabulē un programmē funkciju F(t).

4.2.7. Normālā sadalījuma funkciju tieša izskaitļošana

Datori un arī programmētās vadības kalkulātori dod iespēju tieši aprēķināt normālā sadalījuma integrālās funkcijas, neizmantojot matemātiskās tabulas. Šim nolūkam definīcijas formulas neder. Izskaitļošanai integrāļus izvirza konverģējošās rindās.

Piemēram

. (4.19)

Šī rinda dod labus rezultātus (ātru konverģenci), ja t<1. Ja t<0,5, tad pietiek jau ar trim polinoma locekļiem, lai dabūtu pareizus pirmos 4 zīmīgos ciparus.

Ir zināmas arī vairākas citas rindas, kuras lieto, ja t>1, tāpat, ja grib izskaitļot tieši F(t) vai ievērojot citas īpatnības.

Izmantojot šīs pašas rindas, jau pagājušajā gadsimtā ir izskaitļotas matemātiskās tabulas, kas toreiz dažkārt prasīja daudzu gadu ilgu un mokošu darbu.

4.3. Logaritmiski normālā sadalījuma uzdevums

5. Uzdevums.

Mājsaimniecību budžetu statistikas novērojumi parādīja, ka vidējais ienākums, rēķinot uz vienu mājsaimniecības locekli, bija Ls 60 mēnesī ar standartnovirzi 40 lati.

Aprēķināt, cik procentu mājsaimniecību teorētiski var sagaidīt ar ienākumiem zem 40 latiem mēnesī un cik procentu - ar ienākumiem virs 130 latiem mēnesī, ja mājsaimniecību sadalījums pēc ienākumiem atbilst logaritmiski normālā sadalījuma likumam.

Analīze.

Jau pēc sākotnējiem datiem ir redzams, ka nevar tieši izmantot normālā sadalījuma likumu. Atskaitot no vidējā divkāršu standartnovirzi 2 · 40 , iegūstam negatīvu ienākumu, kas no profesionālā viedokļa nav iespējams (60-80).

Iedzīvotāju sadalījums pēc dažādiem dzīves līmeņa rādītājiem bieži veido logaritmiski normālo sadalījumu, kuram, salīdzinot ar normālo, kreisais zars ir aprauts, bet labais - izstiepts.

Ja novērošanas vienības pēc pētītās pazīmes veido logaritmiski normālu sadalījumu, tās veido normālu sadalījumu pēc šīs pazīmes datu logaritmiem.

Tādēļ uzdevuma atrisināšanā var izmantot normālā sadalījuma likumu pēc tam, kad ir atrasts datu logaritmu vidējais, datu logaritmu standratnovirze un logaritmētas uzdevuma uzrādītās robežvērtības.

4.24. attēls. Logaritmiski normālā sadalījuma reducēšana uz normālo sadalījumu gadījumlieluma
variantus (datus) logaritmējot.

Atrisinājums.

1. Ja uzdevumā nav dota datu logaritmu vidējā vērtība un datu logaritmu standartnovirze , tās var aprēķināt ar tuvinātām formulām

(4.20)

un , (4.21)

Izdarot vairākus aprēķinus, nācām pie secinājuma, ka pirmā formula dod labu tuvinājumu, bet otrā diezgan aptuvenu rezultātu. Tādēļ, ja ir iespējams, šie lielumi jāaprēķina pēc sākotnējiem datiem, tos logaritmējot, atrodot logaritmu vidējo un standartnovirzi.

Uzdevumā:

4.25. attēls. 5. uzdevuma grafiska ilustracija.

2. Ir jāatrod kritisko punktu standartizētās vērtības :

;

3. Jāatrod attiecīgie integrāļi normālā sadalījuma tabulās, kas atbilst vajadzīgajām laukuma daļām zem līknes:

Atrisinājums.

Var vērtēt, ka 36% mājsaimniecību ienākumi ir bijuši zem Ls 40 mēnesī, rēķinot uz vienu mājsaimniecību locekli, bet 5-6% mājsaimniecību - virs Ls 130 mēnesī.

Salīdzināšanai - atrisinājums, pieņemot, ka mājsaimniecību sadalījums pēc ienākuma ir normāls.

4.26. attēls. 5. uzdevuma atrisinājums ar normālo
sadalījumu (rezultāti neprecīzāki)

Iznāk secināt, ka trūcīgo iedzīvotāju ar ienākumu līdz Ls 40 mēnesī īpatsvars jāvērtē ap 31%. Precīzākais vērtējums pēc logaritmiski normālā sadalījuma ir lielāks - 36%. Savukārt, turīgāko iedzīvotāju īpatsvars ar ienākumu virs 130 Ls mēnesī pēc normālā sadalījuma iznāk tikai 4%; precizākais vērtējums pēc logaritmiski normālā sadalījuma - 5-6%.

Tomēr var sameklēt arī tādus kritiskos punktus, piem., 30 un 100, kur pamatotāks šķiet vērtējums pēc normālā sadalījuma. Tādēļ vienmēr vajag salīdzināt un pārbaudīt, kurš no teoretiskajiem sadalījumiem labāk atbilst empīriskajam kopumā.