9. Vienkāršā lineārā regresija un korelācija

 

9.1. Uzdevuma nostādne

 

Praktiski jebkurā statistikas novērojumā par visām novērotās kopas vienībām savāc datus ne tikai par vienu, bet vairākām (bieži - daudzām) pazīmēm. Rēķinot vidējos lielumus, variācijas rādītājus un virkni citu rādītāju, datus par katru novēroto pazīmi apstrādā un izvērtē patstāvīgi, nesaistot šo darbu ar datiem par citām pazīmēm. Metodes, kuras paredzētas vienas pazīmes datu apstrādei un izvērtēšanai, veido t. s. viendimensijas statistiku.

Zinātniskie pētījumi un praktiskā darba pieredze parāda, ka statistikas pazīmes, kas raksturo kādas kopas vienības, gandrīz vienmēr ir likumsakarīgi saistītas savā starpā. Piemēram, studentiem ar augstāku apmeklēto nodarbību īpatsvaru (1. pazīme) caurmērā ir augstāka sekmība, resp., vidējā atzīme (2. pazīme). Strādniekiem ar augstāku darba ražīgumu (1. pazīme) caurmērā ir augstāki ienākumi darba algas un citu izmaksu veidā (2. pazīme). Paaugstinoties preču kvalitātei pie fiksētas cenas, pieaug pieprasījums pēc tām. Līdzīgus piemērus var turpināt praktiski neirobežoti.

Visas dabas, tehniskās un sabiedriski saimnieciskās parādības vienmēr ir savā starpā saistītas. Tādēļ, viens no centrālajiem statistikas un ekonometrijas uzdevumiem ir statistisko sakarību pētīšana. Pētījot sakarības, aplūko kopēji vismaz divas, bet var būt arī vairākas, tā vai citādi saistītas pazīmes. Attiecīgas apstrādes un analīzes metodes sauc par daudzdimensiju metodēm šī termina plašākā nozīmē¹, ja sakarību pētīšanā izmanto modeļus, tas ir ekonometrijas uzdevums.

Aiz faktiski novērotajām jeb statistiskajām sakarībām parasti slēpjas noteiktas cēloņsakarības. Statistikas un ekonometrijas metodes pašas par sevi nav paredzētas cēloņsakarību atklāšanai. Cēloņsakarības galvenokārt atklāj tās zinātnes nozares (disciplīnas), kuras nodarbojas ar pētījuma objekta kvalitatīvo īpašību izpēti. Ekonomikā, piemēram, mikroekonomika un makroekonomika. Statistikas un ekonometrijas metodes gan var ievērojami veicināt šo darbu un nodrošināt izvirzīto hipotēžu zinātnisko pārbaudi.

Ekonometrijas galvenais uzdevums ir skaitliski, kvantitatīvi modelēt tādu pazīmju sakarības, kuru kvalitatīvie aspekti ir jau izpētīti, bet dažreiz arī tādu - par kuru mijiedarbību pagaidām ir izteiktas tikai hipotēzes.

Ja ir jau izpētīta vai vismaz hipotēzes līmenī formulēta interesējošo pazīmju cēloņsakarība, tad var izšķirt pazīmes - cēloņus un pazīmes sekas. Statistikā un ekonometrijā pirmās sauc par faktorālām pazīmēm, bet otrās par rezultatīvām pazīmēm

Ekonometrijas uzdevumus, pētot sakarības, nosacīti var apvienot divās grupās.

 

1.       Faktorālās pazīmes kvantitatīvās ietekmes uz rezultatīvo pazīmi noteikšana. Piemēram, kā izmainās rezultatīvā pazīme, ja faktorālo pazīmi izmaina par vienu vienību, par vienu procentu vai taml. Šī darba rezultātā izstrādā interesējošo sakarību matemātisku modeli.

2.       Sakarību ciešuma raksturošana. Sakarības var būt pilnīgas jeb funkcionālas un to var nebūt nemaz. Ir jāatrod un konkrētam uzdevumam jāaprēķina rādītājs, kurš raksturo konkrēto sakarību ciešumu parasti starp minētajiem robežgadījumiem. Tātad šim rādītājam ir laideni jāpieaug, palielinoties sakarību ciešumam.

 

Sakarību pētīšanā var izmantot teritorijā variējošos datus, kā arī divu vai vairāku rādītāju dinamikas rindas (variācija laikā). Šajā nodaļā plašāk aplūkosim sakarību pētīšanu, izmantojot teritorijā (telpā) variējošus datus. Sakarību pētīšanai, izmantojot dinamikas rindas, iespēju robežās pievērsīsimies citā nodaļā.

 

 

_______________________

¹   Daži autori izdala divu dimensiju statistiku kā daudzdimensiju statistikas vienkāršāko gadījumu.

Sakarību pētīšanai pēc teritorijā variējošiem datiem ja sakarības nav pilnīgas (funkcionālas), var izmantot elementārās statistikas un ekonometrijas metodes. Starp statistikas metodēm izplatītākā ir analītiskā grupēšana (vienkāršā un kombinētā). No matemātiskās statistikas un ekonometrijas metodēm - regresija un korelācija.

Turpmāk pievērsīsimies vienkāršākajam gadījumam, kad ir jāpētī tikai divu pazīmju sakarības, bet no pārējo pazīmju sakarībām (līdzietekmes) var abstrahēties.

 

 

9.2. Sākotnējā informācija sakarību pētīšanai un analītiskā grupēšana

 

Sakarību pētīšanu vislabāk veikt, izmantojot sākotnējos iepriekš nesagrupētus datus. Iepriekš sagrupētus datus var izmantot tad, ja grupējums ir veikts, ņemot vērā sakarību pētīšanas uzdevumu, tātad ievērojot vajadzīgās metodoloģiskās prasības. Tāpat grupētus datus tuvinātu rezultātu ieguvei lieto tad, ja sākotnējie dati nav pieejami, vai nav iespējams organizēt viņu patstāvīgu izstrādi.

9.1. tabulā ir parādīti sākotnējie dati par divu veidu lopbarības patēriņu un izslaukumu no vienas govs 20 lauksaimniecībās. No lauksaimniecības zinātnes ir zināms, ka lopbarības patēriņš ir pozitīvi izslaukumu ietekmējošs faktors. Vizuāli pārskatot sākotnējos datus, šķiet, ka viņi vispārzināmo atziņu apstiprina.

Ja pagaidām gribam ierobežoties ar divu pazīmju (pāru) sakarību pētīšanu, tad piemēra ietvaros mums ir divi cēloņsakarību pāri :

·        siena patēriņš - izslaukums,

·        spēkbarības patēriņš - izslaukums,

kuri skaitliski jāraksturo katrs atsevišķi.

 

Sakarība

·        siena devas - spēkbarības devas ir otršķirīga.

 

To ņem vērā tikai kompleksos pētījumos, ja pētī vairāk kā divu pazīmju sakarības vienlaikus.

Novērtēt sakarības tieši pēc sākotnējiem datiem parasti nav iespējams, īpaši tad, ja novērojumu ir daudz (n > 50).

Vienkāršākā sākotnējo datu sakopošanas metode sakarību pētīšanai ir analītiskā grupēšana.

Analītisko grupēšanu vēlams izdarīt pēc faktorālas pazīmes (siena vai spēkbarības devām). Šādu grupējumu var tālāk apstrādāt, lietojot virkni matemātisku paņēmienu. Ja ir paredzēta grupējuma tālāka apstrāde, jāizvairās arī no nenoslēgtiem un dažāda lieluma intervāliem. Ja grupējums ir paredzēts tikai tiešai interpretācijai, bet ne tālākai apstrādei, var lietot arī nenoslēgtos un dažāda lieluma intervālus. Dažos gadījumos tādos pat apstākļos grupējumu izdara pēc rezultatīvās pazīmes - izslaukuma.

Analītiskā grupējuma rezultātus noformē tabulās (skat. 9.2. un 9.3. tabula). Tabulas priekšmetā uzrāda grupēšanas pazīmes intervālus (ja ir diskrēta pazīme - šīs pazīmes vērtības), bet izteicējā - otras savstarpēji saistītās (parasti rezultatīvās) pazīmes grupu aritmētiskos vidējos. Analītisko grupējumu parasti papildina variācijas rinda - uzrādījums, cik kopas vienību ir nonācis katrā grupā. Pēdējā informācija ir vajadzīga, novērtējot izdalīto grupu reprezentativitāti.

Izmantojot analītisko grupējumu, savstarpēji saistīto pazīmju sakarību esamību atklāj un to pēta šādi.

Ja grupēšanas pazīmes un otras pazīmes grupu vidējie lielumi tabulā izmainās saskaņoti, tad sakarības ir konstatētas. Piemēram, 9.3. tabulā, virzoties no 1. grupas līdz 5., grupēšanas pazīme (spēkbarības devas) pieaug. Pieaug arī izslaukums (no 3320 līdz 4160 kg). Tātad izmaiņas ir saskaņotas (sinhronas). Līdz ar to sakarības ir konstatētas.

 

 

9.1. tabula

 

 Sākotnējie dati siena un spēkbarības patēriņa ietekmes pētīšanai uz vidējo izslaukumu.²

 

Saimniecības numurs	Barības patēriņš, uz 1 govi, simtos barības vienību		Vidējais izslaukums no govs,	Saimniecības nummurs	Barības patēriņš, uz 1 govi, simtos barības vienību		Vidējais izslaukums no govs,
	siens	spēkbarība	kg		siens	spēkbarība	kg
	x1	x2	x0		x1	x2	x0
1	2,4	9,0	3204	11	4,1	12,0	3306
2	2,5	12,9	3600	12	4,1	13,6	3866
3	2,9	10,1	3444	13	4,2	14,7	3562
4	3,0	14,6	3600	14	4,4	10,5	3594
5	3,1	11,3	3176	15	4,5	11,6	3790
6	3,4	10,8	3544	16	4,6	13,9	3426
7	3,6	13,1	3706	17	4,9	13,4	3940
8	3,8	9,6	3128	18	5,0	15,5	4160
9	3,9	11,1	3404	19	5,4	12,1	3405
10	4,0	11,5	3400	20	5,8	9,2	3228

 

Ja grupēšanas pazīmei ir ņemti vienāda lieluma intervāli, tad par sakarību ciešumu var spriest novērtējot rezultatīvās pazīmes (grupu vidējo lielumu) pieaugumus no grupas uz grupu. Ja tie ir gandrīz vienādi, sakarības ir ciešas. Ja atšķirīgi - sakarību ciešums mazāks. Ja ir saistīto pazīmju sinhrono izmaiņu traucējumi atsevišķās grupās - sakarību ciešums vēl mazāks. Salīdzinot 3. ar 4. grupu ir redzams, ka sakarības ir traucētas.

 

9.2. tabula

 

Saimniecību grupējums pēc siena patēriņa, lai noskaidrotu tā ietekmi uz izslaukumu

 

Grupas numurs	Siena patēriņš uz 1 govi gadā, simtos barības vienību	Saimniecību skaits	Vidējais izslaukums no 1 govs gadā, kg
	x1	fi	x0
1	2,01 - 3,0	4	3462
2	3,01 - 4,0	6	3393
3	4,01 - 5,0	3	3705
4	5,01 - 6,0	2	3411
Kopā:	-	20	-
Vidēji:	-	-	3524

 

 

 

________________________

²   Dati ir nosacīti, tomēr galvenajās līnijās atbilst reālajai situācijai lauksaimniecībā.

9.3. tabula

 

Saimniecību grupējums pēc spēkbarības patēriņa, lai noskaidrotu tā ietekmi uz izslaukumu

 

Grupas numurs	Spēkbarības patēriņš uz 1 govi gadā, simtos barības vienību	Saimniecību skaits	Vidējais izslaukums no 1 govs gadā, kg	Grupēšanas pazīmes, intervāla centrs
	x2	fi	x0	x2
1	9,01 - 10,5	5	3320	9,75
2	10,51 - 12,0	6	3437	11,25
3	12,01 - 13,5	4	3710	12,75
4	13,51 - 15,0	4	3613	14,25
5	15,01 - 16,5	1	4160	15,75
Kopā:	-	20	-
Vidēji:	-	-	3524

 

 

 

x₁ - siena deva, rēķinot uz vienu govi gadā, simtos barības vienību,

x₀ - vidējais izslaukums no govs gadā, kg.

 

9.1. attēls. Siena devu ietkme uz vidējo izslaukumu

 

 

Traucējumu no pamattendences būtu mazāk, ja sākotnējie dati aptvertu lielāku novērojumu (saimniecību) kopu. Maza kopa (20 saimniecības) ir ņemta metodiskos nolūkos, lai materiāls būtu pārskatāms. Reālam statistikas darbam tas ir jānovērtē kā ļoti mazs vai pat pilnīgi nepietiekams.

 

Informācija, ko satur analītiskais grupējums, kļūst uzskatāmāka, ja izgatavo grupējuma grafisko attēlu. Attēla galveno, datus attēlojošo daļu (neskaitot eksplikāciju) šādā gadījumā sauc par empīrisko regresiju (9.1. attēls).

Analītiska grupējuma grafisku attēlu izgatavo sekojoši. Uz horizontālās (abscisu) ass atliek faktorālās pazīmes skalu, bet uz vertikālās (ordinātu) ass - rezultatīvās pazīmes skalu. Katru grupu attēlā atzīmē ar punktu, kura abscisa ir grupēšanas pazīmes intervāla centrs (vai faktorālās pazīmes grupas vidējais, ja tas ir izrēķināts), bet ordināta - rezultatīvās pazīmes grupas vidējais lielums. Strādājot ar intervālu centriem, tos var pierakstīt grupējuma tabulā, skat 9.3.tabulas 5. aili. Kad visas grupas attēlojošie punkti ir atlikti attēlā, blakus esošos punktus savieno ar taisnes nogriežņiem, iegūstot lauztu līniju - empīrisko regresiju. (skat. 9.1. un 9.2. attēlus).

 

 

x₂ - spēkbarības deva, rēķinot uz vienu govi gadā, simtos barības vienību,

x₀ - vidējais izslaukums no govs gadā, kg.

 

9.2. attēls Spēkbarības devu ietekme uz vidējo izslaukumu

 

 

Ja pētītā sakarība ir pozitīva, tas ir, ja pieaugot faktorālai pazīmei arī rezultatīvā pazīme visumā pieaug, lauztā līnija ir kāpjoša. Ja sakarība ir negatīva, tas ir, pieaugot faktorālai pazīmei, rezultatīvā pazīme visumā samazinās, lauztā līnija ir krītoša. Mūsu abos piemēros sakarības ir pozitīvas.

Ja lauztā līnija visā tās garumā ir samērā tuvu kādai iedomātai taisnei vai līknei, tad empīriskā regresija izsaka ciešu sakarību (9.2. attēls). Ja lauztā līnija ir tālu novirzīta no iedomātas to izlīdzinošas taisnes vai līknes, tad sakarības ir vidēji ciešas (9.1. attēls) vai arī vājas.

Analītiskās grupēšanas kā statistisko sakarību pētīšanas metodes galvenā priekšrocība ir tās vienkāršība un saprotamība pat nezinot statistikas teoriju, nemaz nerunājot par ekonometriju. Savukārt šai metodei ir vairāki diezgan nozīmīgi trūkumi.

 

1.      Grupējuma rezultāti nav viennozīmīgi, jo katrs izpildītājs var izvēlēties citu grupēšanas pazīmes intervālu skaitu, līdz ar to intervālu lielumu, kas vairāk vai mazāk izmaina sakarību kopainu.

2.      Tikai papildus aprēķinu rezultātā var iegūt visai tuvinātu faktora ietekmes jeb efektivitātes rādītāju, piemēram, kādu izslaukuma pieaugumu vidēji 20 saimniecību kopā nodrošina spēkbarības devu palielināšana par 1 cnt barības vienību rēķinot uz 1 govi.

3.      Tikai vizuāli var novērtēt sakarību ciešumu, bet tā skaitlisko raksturotāju (empīriskās determinācijas un korelācijas koeficientu) aprēķināšana ir darbietilpīga, prasa bez grupējuma tabulas vēl citu papildus informāciju un iegūtie rezultāti tomēr ir tikai tuvināti.

 

Minētos un arī vēl citus analītiskā grupējuma trūkumus cenšas novērst matemātiskās statistikas metodes, vispirms - korelācija un regresija. Kaut arī pēdējās nav sarežģītas tomēr viņu pareiza lietošana ir iespējama tikai zinot matemātiskās statistikas pamatus.

Statistikas un ekonometrijas praksē arvien plašāk izmanto kvantiļu grupējumus.

Veidojot parasto analītisko grupējumu, grupēšanas pazīmes variācijas apgabalu sadala vienāda vai dažāda lieluma intervālos, par to robežām ņemot parocīgus skaitļus. Intervālu skaits nosaka izdalāmo grupu skaitu. Cik vienību nonāks katrā grupā, sākot grupēšanu, nav zināms. Darbu beidzot, izrādās, ka nekad tas nav vienāds un bieži ir ļoti atšķirīgs. Tādēļ dažādu grupu reprezentativitāte ir dažāda, un to grupu reprezentativitāte,  kurās ir nonācis maz vienību, ir nepietiekama.

Kvantiļu grupējumu veido tā, lai visās grupās nonāktu vienāds vienību (novērojumu) skaits. Intervālu robežas nenosaka pirms darba sākšanas, bet tās noskaidrojas datu apstrādes gaitā. Līdz ar to intervālu robežas nav ērti skaitļi.

Ja izdala tikai četras grupas, katrā grupā ietver 25% novērojumu, un tādu grupējumu sauc par kvartiļu grupējumu.

Ja izdala piecas grupas, katrā nonāk 20% novērojumu, un grupējumu sauc par kvintiļu grupējumu.

Visbiežāk izmanto deciļu grupējumu, izdalot 10 grupas ar 10% novērojumiem katrā grupā.

9.4. tabulā ir parādīts Latvijas mājsaimniecību budžeta statistikas deciļu grupējums pēc naudas ienākumu lieluma, rēķinot vidēji uz 1 mājsaimniecības locekli.

Grupējumu veido tā, ka visas novērotās 1190 mājsaimniecības sakārto (ranžē) no vistrūcīgākās līdz visturīgākai.

Pirmajā deciles grupā ņem pirmos 10%, resp., 119 mājsaimniecības un konstatē, ka starp tām vistrūcīgākai ir bijis ienākums Ls 4,32 mēnesī un visturīgākai ir - Ls 19,65 mēnesī. Tās ir pirmās deciles grupēšanas pazīmes robežas. Ņemot no sakārtotas rindas nākošās 119 mājsaimniecības, iegūstam otro deciles grupu ar ienākumu intervālu robežās Ls 19,68 - 24,83 utt. Tālāk datus par visām izdalītajām grupām apstrādā ar parastām metodēm, vispirms izrēķinot faktorālās un rezultatīvās pazīmes vidējos lielumus. Piemērā 9.4. tabulā ir izrēķināti 9 rezultatīvo pazīmju (galveno izdevumu grupu) vidējie lielumi.

Sākotnēji deciļu grupējumu lasa un interpretē tāpat kā parasto grupējumu. Taču tā interpretācijas un tālākas apstrādes iespējas ir daudz lielākas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.4. tabula

 

Latvijas budžeta statistikas mājsaimniecību deciļgrupējums pēc naudas ienākumiem, rēķinot uz vienu mājsaimniecības locekli, un galveno izdevumu grupu lielums šajās grupās 1994. g. Ls mēnesī.

 

	Deciļgrupas										[1]:
Rādītājs	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	[10] %
Naudas ienākums:
minimālais	4.32	19.68	24.85	29.22	33.51	38.27	43.07	50.75	59.88	74.07	5.8
maksimālais	19.65	24.83	29.21	33.46	38.26	43.06	50.66	59.80	73.97	432.17	4.5
intervāls	15.33	5.15	4.36	4.24	4.75	4.79	7.59	9.05	14.09	358.10	4.3
vidējais	14.75	22.33	27.09	31.29	35.92	40.69	46.42	55.46	65.65	102.42	14.4
Izdevumi, vidēji :
pārtikas iegādei	7.36	10.62	12.70	14.58	15.47	17.18	20.74	21.92	26.52	35.02	21.0
apģērbiem, apaviem	0.94	1.52	1.83	1.47	2.11	2.26	2.67	3.22	4.29	7.22	13.0
ar dzīvokli saistītie izdevumi	1.48	2.50	3.03	3.83	4.27	4.68	4.61	5.85	6.81	8.88	16.7
mēbelēm, dzīvokļa iekārtai	0.30	0.50	0.58	0.55	0.79	0.86	0.96	1.30	1.35	2.94	10.2
transportam, sakariem	0.57	0.90	1.09	1.44	1.71	1.90	1.89	3.11	2.54	4.43	12.9
kultūrai, atpūtai	0.39	0.83	0.93	1.09	1.29	1.42	1.58	1.99	2.44	3.94	9.9
alhokolam, tabakai	0.65	0.75	0.74	0.77	0.95	0.95	0.94	1.43	1.58	2.07	31.4
medicīnai, zālēm	0.28	0.48	0.71	0.72	0.68	0.92	0.83	1.21	1.11	1.57	17.8
pārējām vajadzībām	2.26	3.40	4.10	5.21	6.80	7.63	9.83	12.81	15.45	27.16	8.3
Novēroto mājsaimniecību   skaits	119	119	119	119	119	119	119	119	119	119	100
Personu skaits vidēji  mājsaimniecībā	4.0	3.6	3.0	2.8	2.9	2.6	2.6	2.0	2.0	1.7	235.0
1994.g. vairāk nekā 1993.g.  reizes:
naudas ienākums	1.27	1.39	1.41	1.42	1.44	1.46	1.45	1.47	1.46	1.58	-
izdevumi pārtikai	1.22	1.32	1.39	1.41	1.37	1.45	1.41	1.37	1.48	1.53	-
izdevumi apģērbiem, apaviem	1.34	1.62	1.58	1.14	1.49	1.18	1.39	1.27	1.32	1.29	-

 

9.3. Vienkāršas lineārās regresijas vienādojums

 

9.3.1. Modelis un tā parametru aprēķināšana

 

Aplūkojot grupējuma attēlā empīriskas regresijas līniju, redzam, ka tā atspoguļo noteiktu sakarību: kā faktorālās pazīmes izmaiņu rezultātā izmainās rezultatīvā pazīme. Bet šai sakarībai uzslāņojas dažādu blakus faktoru darbības rezultāti. Attēlā tie parādās kā tādi vai citādi līnijas lauzumi vai pat "zāģa zobi". Var pieņemt, ka sakarību vispārējo raksturu, atbrīvotu no šo nejaušību radītās ietekmes, izteiktu taisne vai līkne, kura atrastos maksimāli tuvu visām empīriskās regresijas līnijas virsotnēm. Tādu taisni vai līkni, pretstatā empīriskai, sauc par teorētisko regresiju.

Teorētisko regresiju vienkāršoti var iegūt vizuāli izlīdzinot empīrisko. Tomēr tādā veidā var iegūt tikai tuvinātus rezultātus. Precīzus rezultātus iegūst, aprēķinot matemātiski izlīdzinošās taisnes vai līknes vienādojumu.

Teorētisko regresiju tuvināti var aprēķināt pēc analītiskā grupējuma, jo abas metodes risina vienu un to pašu loģiski statistisko uzdevumu. Tomēr tā parasti nedara, jo grupēšanas rezultātā ir zudusi liela daļa derīgās iznformācijas, īpaši rezultatīvās pazīmes iekšgrupu variācija. Tādēļ teorētisko regresijas vienādojumu un arī sakarību ciešuma rādītājus parasti aprēķina pēc sākotnējiem, nesagrupētiem datiem.

Risināmā uzdevuma nostādni, nesaistot to ar grupēšanu, var labāk izprast, izgatavojot un aplūkojot korelācijas diagrammu. Izgatavojot korelācijas diagrammu, tāpat kā izgatavojot analītiskā grupējuma attēlu, uz abscisu ass atliek faktorālās, bet uz ordinātu ass - rezultatīvās pazīmes skalu. Pašā attēlā ar punktiem iezīmē visas kopas vienības (katrai savs punkts) atbilstoši faktiskajiem datiem par divām saistītajām pazīmēm.

Ja pastāv ciešas sakarības, visi punkti grupējas ap kādu iedomātu taisni vai līkni (kura vēlāk būs jāaprēķina). Ja sakarības ir vidēji ciešas, vairums punktu koncentrējas iedomātā elipsveida figūrā. Ja sakarību nav, punkti korelācijas diagrammā ir izvietoti haotiski, ja ap tiem mēģina apvilkt iedomātu figūru, iegūst apli. Tad tālākie aprēķini nesola pozitīvus rezultātus.

Teorētiskās regresijas vienādojumu var uzlūkot par ekonometrisku modeli, kurš, vadoties no noteikta mērķa un atbilstoši noteiktam kritērijam, vislabāk modelē mūs interesējošās sakarības. Tādēļ tāpat kā jebkurā modelēšanas procesā vispirms ir loģiski un profesionāli jāpamato modeļa vispārējais veids. Konkrētā gadījumā ir jāpamato, vai interesējošās sakarības var modelēt ar lineāru vienādojumu vai jāizmanto nelineārs; ja tā, tad kāds. Šo darba jomu sauc par sakarību formas izvēli.

Sakarību modeļa formu izvēlas un pamato ar vienu vai vairākiem paņēmieniem, no kuriem minēsim divus.

Izdarot loģiski profesionālus spriedumus. Piemēram, lineāra sakarību forma būs pamatota tad, ja var pieņemt, ka faktorālās pazīmes izmaiņām visumā atbilst rezultatīvās pazīmes aritmētiski proporcionālas izmaiņas.

Izgatavojot un novērtējot korelācijas diagrammu. Ja vairums punktu attēlā grupējas ap iedomātu taisni, ir pamats lietot lināru modeli (vienādojumu). Plašāk par šiem jautājumiem rakstīts nākošajā nodaļā.

Ja, aplūkojot korelācijas diagrammu, par pieņemamu var uzlūkot visvienkāršāko, lineāro sakarību formu, modeli vispārējā veidā var pierakstīt šādi:

 

=a+bx,                                                                                  (9.1)

kur y - rezultatīvā pazīme,

x - faktorālā pazīme,

a, b - modeļa parametri, kuru skaitliskās vērtības jāaprēķina.

 

 

 

Plašākos pētījumos, kad vienā darbā jāaplūko vairāki modeļi ar dažādām rezultatīvām un faktorālām pazīmēm, tās kodē ar skaitļiem. Tad iepriekšējo modeli var pierakstīt, piemēram, šādi:

 

=a+bx₅ .                                                                                                       (9.2)

 

Šis modelis nav matemātiska funkcija parastā izpratnē, jo kā parāda grupējumi un individuālie dati, sakarības nav funkcionālas.

Nepilnīgu (daļēju) sakarību gadījumā gan dabā, gan sabiedrībā šo sakarību raksturs parasti ir korelatīvs.

Sakarību starp divām pazīmēm sauc par korelatīvu, ja faktorālās pazīmes izmaiņas ir saistītas ar rezultatīvās pazīmes vidējo vērtību izmaiņām. Zinot x, viennozīmīgi nevar noteikt (prognozēt) kāds būs y. Bet, ņemot atbilstoši dažādām x vērtībām vai to intervāliem novērojumu apakškopas (grupas) un rēķinot grupu vidējās rezultatīvās pazīmes vērtības, tās pakļaujas noteiktai likumsakarībai - proti ir vairāk vai mazāk precīzi nosakāmas ar meklējamo modeli.

Ja modeli (9.1) grib pierakstīt kā funkciju, tajā ir jāparāda arī t. s. nejaušību komponents (citu faktoru darbības rezultāts e).

 

 Tad .                                                        (9.3)

 

Tā kā e var noteikt kā y un  starpību tikai darba noslēguma posmā, par modeli uzlūko izteiksmi (9.1), bet, lai akcentētu minēto īpatnību, uz rezultatīvās pazīmes simbola liek vilnīti (citi autori - jumtiņu ^).

Kad modeļa (9.1) vispārējais veids ir pamatots, ir jāaprēķina tā parametru skaitliskās vērtības. Modeli (9.1) statistikā un ekonometrijā sauc par vienkāršu (pāru) lineāru regresijas vienādojumu, tā koeficientu b par regresijas koeficientu, bet a - par vienādojuma brīvo locekli.

Lai modelis kļūtu konkrēts un atspoguļotu interesējošas sakarības, ir jānosaka, izmantojot satistiskos datus, parametru a un b vērtības. To, principā, var izdarīt ar vairākām metodēm. Statistikā un ekonometrijā visplašāko pielietojumu ir guvusi vismazāko kvadrātu metode. Saskaņā ar to a un b jāaprēķina tā, lai noviržu kvadrātu summa faktiski novērotām un ar modeli (9.1) aprēķinātām rezultatīvās pazīmes vērtībām būtu minimāla.

Matemātiskā pierakstā:

Q_z=min.                                                                    (9.4)

Matemātiskajā statistikā pierāda, ka šīm prasībām atbilst taisne, kuras parametri a un b ir aprēķināti sastādot un atrisinot t. s. normālvienādojumu sistēmu:

 

                                                                       (9.5)

 

Sistēmu (9.5) var atrisināt vispārīgā veidā, iegūstot ērtas formulas regresijas koeficienta un brīvā locekļa aprēķināšanai:

 

b=,                                                                        (9.6)

a=, vai a=.                                                       (9.7)

 

Formulās (9.6) un (9.7) ievietojamās summas jāaprēķina pēc savāktajiem statistiskajiem datiem īpašā darba tabulā. Ja darbu izpilda ar programmētās vadības datoru, šāda tabula nav jāsastāda. Tā veidojas mašīnas atmiņā.

 

 

9.3.2. Regresijas skaitliska ilustrācija

 

Turpmākām ilustrācijām izmantosim piemēru no iedzīvotāju dzīves līmeņa pētījumiem. Viegli iedomāties,ka iedzīvotāju naudas izdevumus, piemēram, pārtikas iegādei, nosaka, no vienas puses, vajadzība, piemērā, ēstgriba, bet, no otras puses, maksātspēja, kuru savukārt nosaka mājsaimniecības ienākumi.

Tādēļ, lai pētītu, kā izmainās iedzīvotāju izdevumi pārtikas produktu iegādei y, mainoties mājsaimniecības ienākumiem x, ir jāizmanto modelis:

=f(x), kurš atspoguļos korelatīvas sakarības. Tiklab ienākumi, kā pārtikas izdevumi jāaprēķina uz 1 mājsaimniecības locekli, precīzāk - uz 1 patērētāja vienību vai nu gadā vai mēnesī. Šādus datus dod mājsaimniecības budžetu statistika, un tos ievāc Centrālā statistikas pārvalde.

 

9.5. tabula

 

Darba tabula sākotnējās informācijas sagatavošanai, lai aprēķinātu mājsaimniecību pārtikas izdevumu lineāru modeli pēc naudas ienākumiem, izmantojot 20 mājsaimniecību budžetu datus, Ls mēnesī, rēķinot uz 1 mājsaimniecības locekli.

 

Ģimenes	Sākotnējie dati		Aprēķinātie lielumi			Novērtēšanas lielumi
Nr.	Naudas ienākums	Izdevumi pārtikai
i	x	y	x²	y²	x  y		y -
1.	32.17	13.84	1035	191.6	445.2	14.3	-0.46
2.	178.65	48.88	31916	2389	8732	49.18	-0.3
3.	12.15	6.31	147.6	39.82	76.67	9.54	-3.23
4.	73.65	25.15	5424	632.5	1852	24.18	0.97
5.	43.95	16.88	1932	284.9	741.9	17.11	-0.23
6.	100.1	32.13	10020	1032	3216	30.48	1.65
7.	15.42	8.37	237.8	70.06	129.1	10.32	-1.95
8.	78.72	27.53	6197	757.9	2167	25.38	2.15
9.	143	40.82	20449	1666	5837	40.69	0.13
10.	59.77	10.45	3572	109.2	624.6	20.88	-10.43
11.	160.5	44.74	25760	2002	7181	44.86	-0.12
12.	21.05	10.31	443.1	106.3	217	11.66	-1.35
13.	90.08	29.87	8114	892.2	2691	28.09	1.78
14.	122.55	36.21	15019	1311	4438	35.82	0.39
15.	200.3	52.55	40120	2762	10526	54.34	-1.79
16.	51.27	19.81	2629	392.4	1016	18.85	0.96
17.	79.84	21.05	6374	443.1	1681	25.65	-4.6
18.	171.12	40.41	29282	1633	6915	47.39	-6.98
19.	110.55	49.76	1221	2476	5501	32.97	16.79
20.	30.21	20.44	912.6	417.8	617.5	13.84	6.6
Kopā	1775.05	555.51	221806	19609	64604	555.5	-0.02

 

9.3. attēls. Korelācijas diagramma un regresijas taisne : iedzīvotāju naudas ienākumi x
                      un izdevumi pārtikas iegādei y, rēķinot uz 1 mājsaimniecības locekli mēnesī, Ls.

 

9.5. tabulā ir parādīts neliels fragments no šiem datiem un tie ir attēloti korelācijas diagrammā 9.3. attēlā.

Iedzīvotāju dzīves līmeņa pētījumi ir pierādījuši, ka šādas t.s. pārtikas izdevumu funkcijas ir nelineāras. Tām ir jāatspoguļo patēriņa piesātinājuma efekts. Tomēr, ja sākotnējo datu ir maz, to variācijas apgabals nav liels, sakarību nelinearitāte var izpausties vāji. Tad nelineāra modeļa vietā var izmantot lineāru kā vienkāršāku.

Šajā vietā mēs arī aprēķināsim vienkāršāko lineāro modeli, lai vēlāk citā vietā runātu arī par nelineāriem.

Tātad kārtējais uzdevums ir pēc 9.5. tabulas datiem aprēķināt lineāra modeļa  , parametrus a un b, kur

x - iedzīvotāju naudas ienākumi mēnesī,

y - izdevumi pārtikas produktu iegādei mēnesī, abus rēķinot vidēji uz vienu mājsaimniecības
                locekli, latos.

 

Sākotnējā informācija ir parādīta 5. tabulas 1. - 3. ailēs. Ja strādā ar taustiņu skaitļotāju (kalkulatoru) ir jāaipilda 4. - 6. ailes, kuru kopsummmas kopā ar 2. - 3. aiļu summām var ievietot darba formulās (9.6) un (9.7).

 

 

 

 

 

 

 

Kā svarīgākais regresijas vienādojuma parametrs ir koeficients b. Tādēļ to aprēķina pirmo :

 

 =.

 

Skaitļi formulā jāievieto, noapaļojot līdz vienādam zīmīgo ciparu skaitam, piemēram, līdz sešiem, atbildē atstāj vienu zīmīgo ciparu mazāk.

Regresijas koeficienta ekonometrisko un ģeometrisko interpretāciju aplūkosim turpmāk.

Līdzīgi aprēķina vienādojuma brīvo locekli.

 

.

 

Tātad meklētais regresijas vienādojums ir:

 

.

 

Lai izdarītu aprēķinu loģisko pārbaudi, atrastam vienādojumam atbilstošo taisni iezīmē korelācijas diagrammā. Šim nolūkam atrod divus punktus, kas atrodas uz taisnes. Punktu abscisas izvēlas brīvi, bet ordinātas atrod, izvēlētās abscisu vērtības ievietojot vienādojumā. Kad punkti atlikti korelācijas diagrammā, caur tiem novelk taisni.

Ja regresijas vienādojums aprēķināts pareizi, atzīmēm korelācijas diagrammā jāsadalās tā, lai apmēram puse no atzīmēm atrodas vienā un puse - otrā pusē no taisnes. Ja taisne atzīmes korelācijas diagrammā nedala tieši uz pusēm, tad tajā pusē, kurā atzīmju skaits mazāks, to attālumam no taisnes jābūt lielākam.

Cik labi lineārs regresijas vienādojums modelē interesējošās sakarības, var vērtēt pēc atzīmju (punktu) sadalījuma abpus taisnei dažādās korelācijas diagrammas daļās.

Mūsu 9.3 attēlā centrālajā daļā vairums punktu atrodas virs regresijas taisnes, bet labajā zarā - zem tās. Tādēļ punktu izvietojumu korelācijas diagrammā precīzāk attēlotu līkne, kura attēla centrālajā daļā atrastos nedaudz virs taisnes, bet abās malās - zem tās. Tādas īpašības būtu pakāpes funkcijai, kuru arī plaši izmanto iedzīvotāju dzīves līmeņa pētījumos.

Tomēr jāņem vērā, ka neviens modelis precīzi neatspoguļo īstenību, bet tikai tuvināti. Arī pakāpes funkcija mūs interesējošo sakarību aprakstītu tikai kā vispārēju tendenci. Tādēļ nebūs pareizi teikt, ka lineārs modelis šīs sakarības atspoguļo nepareizi.

Dažādi modeļi ir jāvērtē tā, ka viens no tiem precīzāk, otrs tuvinātāk atspoguļo īstenību. Precīzāku modeli izvēlas tad, ja ir pietiekoši daudz sākotnējās informācijas, lai precīzākā modeļa priekšrocības būtu statistiski nozīmīgas. Ja informācijas ir maz un tā pēc sava rakstura ir ļoti aptuvena, ir pamats izvēlēties vienkāršāko modeli.

Piemēriem, kuri bija parādīti 9.1. - 9.3. tabulās un 9.1. - 9.2. attēlos, un pētī barības atdevi piena lopkopībā, atbilstošie pāru sakarību regresijas vienādojumi ir šādi:

 

₀=71,6x₁+3239;                             r₀₁=0,245;

₀=99,9x₂+2323;                             r₀₂=0,698, kur

 

₀ - vidējais izslaukums no govs gadā, kg;

x₁ - siena patēriņš simtos barības vienību (saka arī "centneros barības vienību") vidēji uz govi gadā;

x₂ - spēkbarības patēriņš simtos barības vienību vidēji uz govi gadā.

9.3.3. Regresijas parametru interpretācija

 

Regresijas koeficients b izsaka rezultatīvās pazīmes papildus pieaugumu Dy, kurš ir saistīts ar faktorālās pazīmes pieaugumu par vienu vienību, tas ir Dx=1. Iepriekšējā pārtikas izdevumu modelī b = 0,24. No tā var secināt, ka dotajos apstākļos, palielinoties iedzīvotāju naudas ienākumiem par     1 latu (rēķinot uz 1 mājsaimniecības locekli mēnesī), viņi pārtikas produktu iegādei papildus izdod Ls 0,24 jeb 24 santīmus. Tāds izdevumu pieaugums ir jāvērtē kā vidējais visu mājsaimniecību kopā. Atsevišķās mājsaimniecībās tas būs gan mazāks gan lielāks, jo papildus naudas ienākumus dažādas mājsaimniecības izlieto dažādi, vadoties no mājsaimniecības sastāva, dzīvokļa apstākļiem, veselības stāvokļa, ģimenes tradīcijām, interesēm utt. Tādēļ izpētītā un modelētā sakarība "ienākumi - izdevumi pārtikas iegādei" nav funkcionāla, bet korelatīva.

Par korelatīvu sauc sakarību, ja mainoties faktorālās pazīmes vērtībām, likumsakarīgi izmainās rezultatīvās pazīmes vidējie lielumi. Citā terminoloģijā - rezultatīvās pazīmes grupu vidējie, ja grupējums ir izdarīts pēc faktorālās pazīmes.

Sekojot ekonomterijas un arī mikroekonomikas teorijai, saka, ka regresijas koeficients rāda pētītā faktora papildus rezultātu. Piemērā tie ir papildus izdevumi pārtikai.

Papildus rezultāts ir jāatšķir no vidējā rezultāta. Piemērā - no vidējiem izdevumiem pārtikas iegādei, kuri visā novērojumu kopā ir vienādi ar pārtikas izdevumu īpatsvaru mājsaimniecību budžetos. Pēdējo aprēķina, dalot rezultatīvās pazīmes datu summu ar faktorālās pazīmes datu summu.

No 9.5. tabulas summu rindas iegūstam, ka =0,313»31 (santīmi).

Ekonometrijas modeļos papildus rezultāts parasti ir mazāks nekā vidējais rezultāts. No loģikas viedokļa to izskaidro t.s. piesātinājuma efekts. No formālā viedokļa - pozitīvs brīvais loceklis lineārā regresijas vienādojumā.

 

Ģeometriski regresijas koeficients ir regresijas taisnes un abscisu ass veidotā leņķa a tangenss.

 

.                    (9.8)

 

 Ļoti svarīgi ievērot, ka leņķa a tangenss ir jāaprēķina kā pieaugumu Dy un Dx attiecība, pēdējos nolasot atbilstoši izvēlētajām x un y skalām. Leņķi var nolasīt ar leņķmēru un tā tangensu atrast trigonometriskās tabulās tikai tad, ja uz abām koordinātu asīm ir atliktas pazīmes vienās vienībās, piemēram, latos, un arī mērogi izraudzīti vienādi. Statistikas praksē to ievēro reti, tādēļ leņķmēru šādam nolūkam lietot nedrīkst.

 

Regresijas vienādojuma brīvo locekli dažkārt interpretē kā rezultatīvās pazīmes vidējo (teorētisko) vērtību ar nosacījumu, ka faktorālās pazīmes vērtība ir 0.

 

a+b(x=0)=a.

 

Tāda interpretācija ir pieļaujama tikai atsevišķos gadījumos. Vispār no tās vajag atturēties. Par to var pārliecināties, praktiski rēķinot dažādus regresijas vienādojumus. Bieži brīvais loceklis iznāk negatīvs skaitlis. Bet ekonomikā rezultatīvās pazīmes parasti nevar būt negatīvi skaitļi (Izņēmums - peļņa, ja ciesti zaudējumi). Šķietamā pretruna izskaidrojama ar to, ka, pilnīgi trūkstot kādam ražošanas faktoram, ražošana parasti vispār nav iespējama. Tāpat trūkstot ienākumiem, vispārējā gadījumā nav iespējami izdevumi. Tādēļ punktā x = 0 sakarību modelis reāli neeksistē.

 

Līdz ar to ir jānosaka un jāatrunā regresijas vienādojuma eksistences apgabals. Izmantojot statistikas metodes, to nosaka kā dubultnevienādību, zemāko robežu ņemot kā faktorālās pazīmes mazāko vērtību, kāda sastopama sākotnējos datos, bet augstāko robežu - kā faktorālās pazīmes lielāko vērtību, kāda sastopama sākotnējos datos.

 

x_min<x<x_max .                                                                                 (9.9)

 

Izskatot sākotnējās informācijas tabulas datus, varam noteikt, ka atrastais regresijas vienādojums reāli eksistē apgabalā:

 Vadoties no kvalitatīviem apsvērumiem, parasti no ekonomikas teorijas, modeļa eksistences apgabals varētu būt plašāks. Taču, formāli paplašinot vienādojuma eksistences apgabalu, varam pieļaut kļūdu, jo interesējošās sakarības, kas izpētīto datu variācijas apgabalā visumā ir lineāras, ārpus šī apgabala var būt izteikti nelineāras. Piemēram, ļoti lielu ienākumu gadījumā izdevumi pārtikai tuvojas piesātinājumam.

 

Vienādojuma brīvais loceklis ģeometriski nozīmē nogriežņa garumu uz ordinātu ass no koordinātu sākuma līdz krustpunkatam ar regresijas taisni. Jāņem vērā algebriskā zīme, un nogriežņa garums jānolasa ordinātu ass skalā (nevis jāmēra, piemēram, milimetros).

  

 

9.6. attēls. Regresijas brīvā locekļa ģeometriska interpretācija.

 

Tā kā summa nav atkarīga no saskaitāmo kārtības, regresijas vienādojumu var pierakstīt:

·         pirmo uzrādot brīvo locekli; tā pieņemts matemātikā;

·         pirmo uzrādot reizinājumu bx, jo regresijas koeficients ir galvenais modeļa parametrs; tā ieteicams rīkoties, demonstrējot modeli praktiķiem.

 

Vēl daži aizrādījumi par korelācijas diagrammas izgatavošanu.

Lai korelācijas diagramma un regresijas taisne neradītu izkropļotu priekšstatu par pētītā faktora ietekmi, pareizi jāizvēlās mērogi uz abām koordinātu asīm. Ja faktora ietekme jāvērtē kā normāla, attēlu ieteicams izgatavot tā, lai regresijas taisne veidotu ap 25 - 30⁰ lielu leņķi ar abscisu asi, šoreiz mērot ar parasto leņķmēru. Ja ekspertīzes ceļā ir novērtēts, ka faktora ietekme ir liela (piemēram, salīdzinot ar tradicionāliem normatīviem) mērogus var izvēlēies tā, lai taisne iznāk nedaudz stāvāka (līdz 45⁰). Ja faktora ietekme ir jānovērtē kā nepietiekama, mērogus var pieņemt tā, lai taisne būtu tuvāka horizontālai (15 - 20⁰).

Jāievēro, ka attēla vizuālo iespaidu veido tas leņķis, kuru mēra ar leņķmēru. Tas savukārt ir saistīts ar priekšnoteikumu, ka uz abām koordinātu asīm atliktas samērojamas pazīmes vienā un tajā pašā mērogā. Praktiski pazīmes un skalas visbiežāk ir atšķirīgas. Tādēļ visi vērtējumi un aprēķini jāizdara vadoties no tiem.

Līdz ar to formāli pareizi pēc vieniem un tiem pašiem datiem var izgatovot neierobežoti daudz attēlu, kuri rada pilnīgi atšķirīgu vizuālo iespaidu. Šādos nenoteiktības apstākļos ir apzināti jāizlemj, kādu iespaidu grib radīt un atbilstoši tam jāizveido skalas uz koordinātu asīm.

Piemēram, ir jāattēlo regresijas vienādojums =16 + 8x. Izvēlamies uz x ass attēlot vienu vienību ar 2 cm, (4 rūtiņas), bet uz y ass ar 1 cm attēlojam 10 vienības. Tad attēls būs šāds (skat. 9.7. attēlu).

Mērot ar leņķmēru, iegūstam , ka a»24⁰, kam atbilst tg 24⁰ » 0,45.

 

9.7. attēls. Attēls ar saspiestu vertikālo skalu.

 

Tagad "izstiepsim" y asi divas reizes, apzīmējot 10 vienības ar 2 cm:

 

9.8. attēls. Attēls ar izstieptu vertikālo skalu.

Arī šajā gadījumā . Toties mērot ar leņķmēru šajā gadījumā a = 40⁰ un tg 40⁰ » 0,84.

 

Abi attēli ir formāli pareizi, bet pirmais rada vizuālu iespaidu, ka faktora ietekme ir neliela, turpretī otrs: - ka faktora ietekme ir ļoti liela.

 

 

9.3.4. Aprēķināto jeb teorētisko lielumu un noviržu interpretācija

 

Par teorētisko jeb pēc regresijas vienādojuma aprēķināto lielumu sauc rezultatīvās pazīmes lielumu, kuru iegūst, ievietojot regresijas vienādojumā faktorālās pazīmes simbola vietā kādu fiksētu skaitli. Teorētiskais lielums ir rezultatīvās pazīmes vidējā, arī visvarbūtīgākā vērtība, kas atbilst izvēlētai faktorālās pazīmes vērtībai.

Iepriekšējā piemērā aprēķinājām, ka iedzīvotāju ienākumus x un izdevumus pārtikas iegādei y saista regresijas vienādojums:

 

= 6,64+0,2381x.

 

Sestai mājsaimniecībai 9.5. tabulā naudas ienākums rēķinot uz vienu mājsaimniecības locekli, bija   Ls 100,10. Ievietojot šo skaitli vienādojumā, iegūstam

 

= 6,64 + 0,2381×100,1 = 30,48 (lati).

 

Ja šī mājsaimniecība saimniekotu atbilstoši vidējam, kas raksturīgs šādam ienākumam, viņa pārtikai izdotu Ls 30,48 mēnesī. Tas ir sava veida statistisks normatīvs ar ko salīdzināt faktisko rezultatīvās pazīmes lielumu. Piemērā 6. mājsaimniecībai tas ir Ls 32,13. Novirze y -  = 32,13 - 30,48 = 1,65 rāda, ka šī mājsaimniecība pārtikai ir izdevusi vairāk nekā vidēji citas mājsaimniecības līdzīgos apstākļos.

Plašāk nekā dzīves līmeņa pētījumos šādu aprēķinu un tā rezultātus izmanto, vērtējot rezultātus ražošanā. Ekonometrijā saka - ražošanas funkciju teorijā. Tādēļ otru piemēru ņemsim no ražošanas funkcijām lauksaimniecībā.

Pēc 9.1. tabulas datiem ir aprēķināts lineārs regresijas vienādojums, kas rāda vidējā izslaukuma y izmaiņas, mainot govīm izbarotās spēkbarības daudzumu x.

Izsakot y kilogramos gadā vidēji no 1 govs, bet x - centneros barības vienību, kas izbaroti vidēji govij gadā, ieguvām tuvinātu vienādojumu :

 

= 2323 + 100x.

 

Mainot x mērvienību, var teikt, ka vidēji viens kg spēkbarības dod 1 kg piena.

Vidēji saimniecību grupā = 12,0 (cntn), bet =3523 kg.

Mūs interesējošā konkrētā saimniecībā, rēķinot uz 1 govi gadā ir izbarots 14,6 c. b. v. spēkbarības un iegūts izslaukums vidēji no govs 3600 kg gadā (4. saimniecība 9.1. tabulā).

Jānovērtē šis saimniecības ražošanas potenciāls piena ražošanā un tā izmantošana.

Ekonomikas analīzē plaši lieto salīdzināšanu. Tradicionālā darbā visbiežāk salīdzina ar kopas vidējo, ar pirmrindas uzņēmumu sasniegumiem, ar uzņēmējdarbības plāna rādītājiem, ar iepriekšējā gada rezultātiem utt. Šādā gadījumā vai nu pilnīgi vai daļēji neņem vērā reālās ražošanas iespējas, ražošanas faktorus.

No visiem ražošanas potenciālu veidojošiem faktoriem pagaidām mums ir zināms tikai viens - spēkbarības devas. Spriežot pēc šī faktora, un salīdzinot to ar vidējo, saimniecībā ražošanas potenciāls ir lielāks nekā vidēji līdzīgu saimniecību kopā: x -  = 14,6 - 12,0 = 2,6 (c. b. v.)

Arī ražošanas rezultāts - izslaukums vidēji no govs ir lielāks nekā vidēji saimniecību kopā:

 y -  = 3600 - 3523 = 77 (kg).

 

Tas tomēr nedod atbildi uz jautājumu, vai ražošanas potenciāls, kas ir lielāks par vidējo, ir izmantots labāk par vidējo, vidējā līmenī, vai sliktāk par vidējo.

Šādu atbildi var iegūt, aprēķinot ar regresijas vienādojumu teorētisko izslaukumu, kas vidēji atbilst faktiskajām spēkbarības devām. Ievietojam iepriekš minētajā vienādojumā x = 14,6 un iegūstam:

 

= 2323 + 100×14,6 = 3783 kg.

 

Tas ir saimniecības ražošanas potenciāls, vērtējot ar rezultatīvo pazīmi. Faktiskais rezultāts y = 3600 ir mazāks; novirze 3600 - 3783 = - 183 (kg).

Tātad ražošanas potenciāls, kas šajā saimniecībā ir virs vidējā līmeņa, tomēr ir izmantots nepietiekami efektīvi. Savus šķietami labos panākumus piena lopkopībā saimniecība ir guvusi pārtērējot dārgos spēkbarības līdzekļus, kurus dažkārt iepērk ārpus Latvijas.

Tādējādi regresijas vienādojums kā ekonometrisks modelis deva iespēju padziļināt saimnieciskās darbības analīzi, salīdzinot ar tradicionāliem aprēķiniem, Reālā uzņēmuma analīzē, protams, būtu vēlams ņemt vērā ne vienu, bet vairākus ražošanas faktorus un sakarību forma nereti jāņem nelineāra. Tādu uzdevumu mācīšanās ir mūsu tālāks uzdevums.

Ģeometriski teorētiskais rezultatīvās pazīmes lielums ir punkta ordināta uz regresijas taisnes, bet aplūkotā novirze y - - vertikāla nogriežņa garums no novērojumam atbilstošā punkta ordinātas korelācijas diagrammā līdz regresijas taisnei, mērot ordinātu skalā.

Lineāram regresijas vienādojumam ir matemātiska īpašība, ka ievietojot tajā x = , dabūjam = .

 

=a + b .                                                                             (9.10)

 

Pēdējā piemērā =12,0; =3523. Vienādojums dod =2323 + 100×12 = 3523.

Nelielas atšķirības var rasties starprezulātu noapaļošanas rezultātā. Ja grib iegūt precīzākas ražošanas potenciālu vērtības, jāizmanto vienādojuma parametri un vidējie lielumi ar vairāk zīmīgiem cipariem, pēc tam noapaļojot galīgo rezultātu. Ekonomikā daudziem zīmīgiem cipariem parasti nav nozīmes. To ticamību nenodrošina sākotnējās informācijas nereti diezgan zemā precizitāte.

Izsniedzot šādas un līdzīgas analīzes rezultātus praktiķiem, viņu reakcija un uzticība materiālam lielā mērā ir atkarīga no tā, cik saprotami un profesionāli interpretējami ir visi aprēķina starprezultāti.

Šajā ziņā izdarītajos aprēķinos vājā vieta ir vienādojuma brīvais loceklis, kuram, kā jau minējām, profesionālā interpretācija ir ļoti ierobežota vai tās nemaz nav. Tādēļ praktisku apsvērumu dēļ regresijas vienādojumu ieteicams pierakstīt novirzēs no artimētiskajiem vidējiem. Vispārējā formā tas ir:

 

- = b (x - )                                                                                 (9.11)

jeb  = + b (x - ).                                                                         (9.12)

 

 

Pēdējam piemēram

 

= 3524 + 100 (x - 12,0).

 

Šis vienādojums ir pilnīgi ekvivalents iepriekšējiem un dod tos pašus teorētiskos lielumus, tikai viņš nesatur brīvo locekli un visi aprēķinu starprezultāti ir labi saprotami.

Piemērā ievietojot x = 14,6 un fiksējot visus starprezultātus iegūstam:

 

=3523+100(14,6-12,0)=3524+100×2,6=3524+260= =3783(kg).

 

Konkrētai saimniecībai, kurā izbarots govīm spēkbarības par 2,6 c. b. v. vairāk nekā vidēji, tā rezultātā vajadzēja iegūt izslaukuma pieaugumu 260 kg no govs gadā. Pieskaitot to vidējam izslaukumam visu saimniecību kopā 3524 kg, iegūstam teorētiski sagaidāmo izslaukumu konkrētai saimniecībai 3783 kg.

 

Ražošanas rezultāta vērtējumus, salīdzinot ar vidējo un ar ražošanas potenciālu var ilustrēt šādi (skat 9.9. attēlā) :

 Vērtējuma kvalitāti (pozitīva, negatīva) nosaka novirzes algebriskā zīme (+; -)

Vērtējuma gradāciju (apmierinoši, labi, ļoti labi,slikti, ļoti slikti) - attiecīgās novirzes skaitliskais lielums. Jo lielāka novirze, jo vērtējums (pozitīvs vai negatīvs) ir kategoriskāks. Kā novērtēt novirzes lielumu, par to runāsim turpmāk.

 

 

 

 

 

 

9.3.5. Rezultatīvās un faktorālās pazīmes attiecība (vidējais rezultāts)

 

Ja rezultatīvai pazīmei y un faktorālai pazīmei x ir profesionāls (ekonomisks) saturs, tad tāds ir arī viņu attiecība y/x.

 

Piemērā par iedzīvotāju dzīves līmeni x bija mājsaimniecību naudas ienākums, bet y - pārtikas izdevumi, abus rēķinot uz 1 mājsaimniecību locekli latos mēnesī. Tādā gadījumā y/x ir pārtikas izdevumi rēķinot uz vienu latu ienākumu.

 

Parastā statistisko datu apstrāde dod iespēju aprēķināt šo attiecību abu mainīgo vidējiem lielumiem /.

Piemērā, skat. 9.5. tabulas kopsummu rindu,

 

Tātad aplūkojamā mājsaimniecību izlasē no katra ieņemtā lata mājsaimniecības vidēji izdod pārtikai 31 santīmu. Jau atzīmējām kādēļ tas nesakrīt ar regresijas koeficientu.

Ir skaidrs, ka mājsaimniecību grupās ar dažādu ienākumu līmeni pārtikas izdevumu daļa nebūs vienāda. Trūcīgāko mājsaimniecību grupās šī attiecība būs lielāka un otrādi.

Tātad viens ceļš, kā noteikt šo attiecību dažādās iedzīvotāju grupās, ir izdarīt sākotnējā materiāla grupēšanu, atrast grupu vidējos lielumus un pēc tam šo vidējo attiecības.

Ja ir izrēķināts sakarību modelis, to pašu var izdarīt vienkāršāk, aprēķinot rezultatīvās pazīmes teorētiskā lieluma  un tam atbilstošā faktorālās pazīmes x lieluma attiecību(ekonometrijā to sauc par vidējo rezultātu):

 

                                                                          (9.13)

 

Piemērā =6,64+0,2381x un .

 

Izskaitļojam šo attiecību dažām x vērtībām

9.6. tabula

 

Vidējais rezultāts (pārtikas izdevumu daļa ienākumos) pie dažādām x (ienākuma) vērtībām.

 

x	10	20	40	60	80	100	120	150	200	¥
/x	0,90	0,57	0,40	0,35	0,32	0,30	0,29	0,28	0,27	0,24

 

Tātad, ja modelis ir pareizs, tad saskaņā ar to vistrūcīgākā mājsaimniecību grupa, kuras mēneša ienākums vidēji uz vienu mājsaimniecības locekli ir 10 Ls, no katra lata pārtikai izdod 90 sant. Ja mājsaimniecības ienākums sasniedz 40 latu mēnesī, rēķinot uz 1 mājsaimniecības locekli, no katra lata pārtikai izdod tikai 40 sant., bet, ja 100 latu - tad 30 santīmu. Vēl tālāk augot labklājībai šī daļa samazinās uz 28 - 27 santīmi, tiecoties uz savu robežu, kas ir vienāda ar regresijas koeficientu b = 0,238 = 23,8 (sant.).

Šī iemesla dēļ dažreiz ekonometrijā saka, ka regresijas koeficients atspoguļo faktora robežietekmi, jeb robežefektivitāti. Īpaši plaši šādu interpretāciju lieto ražošanas funkciju teorijā, analizējot nelineārus modeļus.

Rezultatīvās un faktorālās pazīmes konkrēto vērtību attiecība šajā gadījumā ir lielāka par regresijas koeficientu tāpēc, ka vienādojumā ir no nulles atšķirīgs brīvais loceklis - rezultatīvās pazīmes lielums, kas formāli nav atkarīgs no faktorālās pazīmes lieluma. Ja a = 0, tad, kā redzams no ilustrācijām, /x = b.

Ja kādā modelī brīvais loceklis būtu negatīvs, tad vidējais rezultāts būtu mazāks nekā papildus rezultāts, ko atspoguļo regresijas koeficients.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.4. Sakarību ciešuma rādītāji

 

Sakarību ciešuma rādītājus, pēc interpretācijas un lietošanas iespējām tāpat kā pazīmes variācijas rādītājus var iedalīt trīs grupās:

 

1.       Bāzes rādītāji, kuriem nav reālas preofesionālas interpretācijas, bet kuriem ir svarīga nozīme kā starprezultātiem tālākos aprēķinos. Te pieder rezultatīvās pazīmes neizskaidroto noviržu kvadrātu summa un neizskaidrotā dispersija.

2.       Absolūtie sakarību ciešuma rādītāji, kuri ir izteikti rezultatīvās pazīmes mērvienībās. Te pieder vērtējuma pēc regresijas vienādojuma standartkļūda un dažādas robežkļūdas.

3.       Relatīvie sakarību ciešuma rādītāji, kuri nav saistīti ar rezultatīvās pazīmes mērvienību. Svarīgākie - korelācijas un determinācijas koeficienti. Tieši relatīvos sakarību ciešuma rādītājus praksē lieto visplašāk. Tādēļ, ja sakarību ciešuma pētīšanai var veltīt ierobežotu darba apjomu, ar šiem rādītājiem arī apmierinās. Tos aplūkosim pirmos.

 

9.4.1. Korelācijas un determinācijas koeficienti

 

Korelācijas koeficientu tieši pēc krossummām var aprēķināt ar formulu:

 

.                                            (9.14)

 

Lai aprēķinātu korelācijas koeficientu iedzīvotāju pārtikas izdevumu modelim no 9.5. tabulas kopsummu rindas ir jāizraksta formulai vajadzīgie lielumi: n=20; Sx=1775,05; Sy=555,51; Sxy=64604,28; Sx²=221805,7; Sy²=19609,05.

 

Līdz ar to

.

 

Piemēram, kas raksturoja izslaukuma atkarību no spēkbarības patēriņa, r=0,698.

 

Ja r=0, tad sakarību nav nemaz. Ja r=1, tad ir funkcionālas pozitīvas, bet ja r=-1 - funkcionālas negatīvas sakarības. Pārējos gadījumos sakarības ir korelatīvas. Turklāt lielāks pēc absolūtās vērtības (moduļa) koeficients norāda uz ciešākām sakarībām un otrādi.

Pieaugot sakarību ciešumam, korelācijas koeficients neizmainās lineāri, bet palēnināti. Tā piemēram, robežās no 0,0 līdz 0,3 korelācijas koeficients norāda uz vājām, maznozīmīgām sakarībām; 0,4 - 0,7 sakarības var vērtēt kā vidēji ciešas. Un tikai tad kad r sasniedz 0,8 - 0,9, ir pieņemts uzskatīt, ka sakarības ir ciešas. Vēl tālāk pieaugot sakarību ciešumam, nozīmīgas jau ir korelācijas koeficienta simtdaļas. Šāda korelācijas koeficienta interpretācija gan jāvērtē kā orientējoša, jo precīzākai sakarību ciešuma un nozīmības vērtēšanai vēl ir svarīgs kopas apjoms, pēc kāda koeficients aprēķināts, koeficienta stabilitāte laikā u.c. Atgriežoties vēlreiz pie korelācijas koeficienta nelinearitātes, var salīdzināt korelācijas diagrammas, kurām atbilstošie r ir 0,2 un 0,3. Vizuāli abi attēli izskatīsies gandrīz līdzīgi, jo punktu izvietojums maz atšķiras no haotiska. Turpretī, salīdzinot korelācijas diagrammas, kurām atbilstošie r ir 0,92 un 0,97 būs vērojama uzkrītoša atšķirība.

Neskatoties uz minēto šķietamo trūkumu, korelācijas koeficients ir visbiežāk lietotais sakarību ciešuma rādītājs.

Otrs bezmērvienības (relatīvais) sakarību ciešuma rādītājs ir determinācijas koeficients. To aprēķina kā korelācijas koeficienta kvadrātu. Arī determinācijas koeficients var iegūt skaitliskas vērtības no 0 līdz 1, bet tam nav algebriskās zīmes, līdz ar ko viņš nenorāda, vai sakarības ir pozitīvas vai negatīvas.

Iepriekšējos piemēros

 

D=r²=(0,93364)²=0,872 un D=r²=(0,698)²=0,487.

 

Determinācijas koeficientu var interpretēt kā izskaidrotās rezultatīvās pazīmes dispersijas attiecību pret kopējo (parasto) dispersiju. Tādēļ to kā struktūras relatīvo lielumu var izteikt procentos. Korelācijas koeficientam nav šādas īpašības, tādēļ to procentos izteikt nevar.

Tātad, pētot iedzīvotāju pārtikas izdevumu veidošanos dotajos apstākļos, no pārtikas izdevumu visas variācijas, mērot ar dispersiju, 87,2% izskaidro ienākumu variācija.

Pētot vidējo izslaukumu, tā variāciju dotajos apstākļos 48,7% apmērā izskaidro govīm izbarotās spēkbarības daudzumus.

~

Specifisku korelācijas koeficienta interpretāciju iegūst, ja abus korelatīvi saistītos mainīgos lielumus izsaka standartizētās vienībās. Mainīgo standartizāciju izdara ar formulu , kur s standartnovirze jeb vidējā kvadrātiskā novirze.

Tad korelācijas koeficientu var interpretēt līdzīgi kā regresijas koeficientu. Ar formulu to pieraksta šādi:

.                                                                                 (9.15)

 

Korelācijas koeficients rāda, par cik standartnovirzēm no vidējā papildus izmainās rezultatīvā pazīme, ja faktorālā pazīme izmainās par vienu standartnovirzi no sava vidējā.

Pirmajā piemērā, pieaugot iedzīvotāju naudas ienākumiem par vienu standartnovirzi, ir sagaidāms, ka izdevumi pārtikas iegādei pieaugs par 0,93 standartnovirzēm.

Otrajā piemērā, palielinot spēkbarības devas govīm par vienu standartnovirzi, ir sagaidāms, ka izslaukums papildus pieaugs par 0,70 standartnovirzēm no sava vidējā.³

Strādājot ar programmētās vadības datoru, tajā ievadot un apstrādājot jau standartizētus datus, regresijas un korelācijas koeficienti tiek uzrādīti kā vienādi skaitļi.

Ņemot vērā, ka korelācijas koeficients nevar būt lielāks par 1, rezultatīvā pazīme standartizētās vienībās nevar pieaugt straujāk nekā faktorālā. Tā ir standartizēto datu īpatnība.

Ja abus mainīgos x un y izsaka standartizētās vienībās un izveido koordinātu sistēmu ar šādām asīm, korelācijas koeficientu var attēlot kā taisni, kura iet caur koordinātu sistēmas sākumu. Tā kā leņķa koeficients pēc absolūtās vērtības vienmēr mazāks par 1, resp. -1, tad izveidojot uz abām asīm vienāda mēroga skalas, šīs taisnes leņķis ar horizontālo asi vienmēr mazāks par 45⁰ (tiklab aprēķinot kā pieaugumu attiecību, kā arī mērījot ar leņķmēru).

 

 

 

 

_____________________

³  Standartnovirze, salīdzinot ar datu variācijas apgabalu ir liela vienība. Tādēļ šāda interpretācija ir
     pieļaujama vienīgi lineāra modeļa gadījumā, kur papildus rezultāts visā modeļa eksistences apgabalā ir
     konstants.

Minēto interesanto korelācijas koeficienta īpašibu var pierādīt, zinot, ka katra standartizētā lieluma vidējā vērtība ir nulle, bet standartnovirze un dispersija - viens. Līdz ar to Sx=0 un Sy=0, bet Sx²=Sy²=n. Ievietojot šos lielumus regresijas un korelācijas koeficientu formulās iegūstam vienu un to pašu izteiksmi               ,                                                                 (9.16)

kur Stz jāaprēķina standartizētiem datiem, kas atbilst sākotnējiem x, y.

 

Korelācijas koeficientu var apēķināt arī ar dažādām citām formulām, kuras dod tos pašus rezultātus kā pamatformula.

 

Dalot formulas (9.14) skaitītāju un saucēju ar konstantu lielumu n, iegūstam

 

.                                   (9.17)

 

Pēdējās formulas saucējā saskaņā ar momentu metodi ir abu pazīmju standartnovirzes. Skaitītāju  sauc par jaukto dispersiju jeb kovariāciju un apzīmē ar simbolu cov_xy. Līdz ar to korelācijas koeficientu var izteikt ar abu saistīto pazīmju kovariāciju un standartnovirzēm:            .                                                                                      (9.18)

 

 Tā kā dispersija ir otrās kārtas centrālais moments, šo formulu sauc arī par korelācijas koeficienta momentu formulu. Kovariācija tādā gadījumā ir otrās kārtas jauktais centrālais moments.

 

Zinot, ka dispersija ir noviržu kvadrātu summas dalījums ar kopas vienību skaitu, reizināsim pēdējās formulas (9.18) skaitītāju un saucēju ar n un iegūstam korelācijas koeficienta formulu, kur par sākotnējo informāciju ir izmantotas jaukto noviržu reizinājumu un noviržu kvadrātu summas:

 

=.                                              (9.19)

 

Formulas iegūstamas viena no otras ar identiskiem pārveidojumiem, tādēļ tās dod vienus un tos pašus rezultātus. Pēdējo formulu plaši izmanto matemātiskos pārveidojumos un pierādījumos.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.7. tabula

 

Svarīgāko regresijas un korelācijas rādītāju aprēķināšanas formulu sakopojums.

 

Rādītājs, simbols	Summu metode	Noviržu metode	Momentu (dispersiju, kovariāciju) metode
Regresijas koeficients b
Vienādojuma brīvais loceklis a		*****	*****
Korelācijas koeficients r
Vērtējuma standartkļūda sxy

 

 

 

 

9.4.2 Noviržu kvadrātu summas un dispersijas

 

Noviržu kvadrātu summas un dispersijas var uzskatīt par sakarību ciešuma bāzes rādītājiem.

 

Bāzes sakarību ciešuma rādītājiem nav patstāvīgas profesionālas interpretācijas un pielietojuma, bet tos izmanto kā vērtīgus starprezultātus absolūto rādītāju aprēķināšanai, kā arī citos aprēķinos.

 

Sakarību ciešuma bāzes rādītājus izveido, sadalot sastāvdaļās rezultatīvās pazīmes noviržu kvadrātu summu un dispersiju. Analizējot pāru sakarības, izdala izskaidroto un neizskaidroto daļu. Matemātikā to pierāda kā dispersiju saskaitīšanas teorēmas speciālu gadījumu. Loģisko izpratni veicina lineāro noviržu sakarību izpēte. Tādēļ izveidosim un aplūkosim 9.6. attēlu.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.10. attēls. Noviržu veidošana un kvadrātu summu sakarība.

 

 

a: AD=AB+BC+CD,      kur                   AD=y_i=y_i

                                                               AB=

                                                               BC= -

                                                               CD=y-

b: y= + ( -) + (y -)

c: y- = ( -) + (y -)

d:

20:

21: Q=Q_f+Q_z                  Q=å(y-)²     Q_f=å(-)²

22: s²=+                         Q_z=å(y-)²

 

Attēlā ar slīpu taisni attēlots regresijas vienādojums =a+bx, bet ar horizontālu rezultatīvās pazīmes vidējais lielums y =. Punkta D koordinātas x_i y_i atbilst vienas kopas vienības jeb i-tā novērojuma datiem. Punkts C attēlo rezultatīvās pazīmes teorētisko lielumu un tā ordināta ir _i. Punkts B attēlo rezultatīvās pazīmes aritmētisko vidējo, un tā ordināta ir . Visu punktu abscisas ir vienādas un atbilst iz­vēlētai, fiksētai faktorālās pazīmes vērtībai x_i. No attēla redzams, ka pastāv šāda nogriežņu lielumu sakarība

 

AD=AB+BC+CD.                                                                   (a)

Šo nogriežņu lielumus var izteikt algebriski un dot tiem ekonomisku interpretāciju:

 

AD=y_i-0=y_i

 

raksturo rezultatīvās pazīmes faktisko lielumu i-tai kopas vienībai;

 

AB=-0=

 

raksturo rezultatīvās pazīmes aritmētisko vidējo;

 

BC=_i -

 

raksturo rezultatīvās pazīmes aprēķinātā jeb teorētiskā lieluma novirzi no aritmētiskā vidējā:

 

CD=y_i-_i

 

raksturo faktiskā rezultatīvās pazīmes lieluma novirzi no teorētiskā lieluma.

 

Ievietojot jaunos apzīmējumus vienādībā (a), dabūjam:

 

y_i= + (_i -) + (y_i -_i).                                                                 (b)

 

Tas nozīmē, ka rezultatīvās pazīmes lielumu atsevišķi ņemtai kopas vienībai var izteikt kā trīs lielumu summu:

 

·         rezultatīvās pazīmes aritmētiskais vidējais;

·         teorētiskā un aritmētiskā vidējā lielumu starpība;

·         faktiskā un teorētiskā rezultatīvās pazīmes lielumu starpība.

 

Ir svarīgi izprast šo sakarību ekonometrisko saturu. No vienādības (b) seko, ka

 

y_i- = (_i -) + (y_i -_i).                                                                  (c)

 

Kāpinot visus locekļus kvadrātā, vienādība nav spēkā

 

.                                                          (d)

 

Bet, kā pierāda matemātiskā statistika, vienādība atjaunojas, ja šādus noviržu kvadrātus summē pa visu statistisko kopu (kurai aprēķināts vidējais  un regresijas vienādojums _i aprēķināšanai).

 

S (y_i-)²=S(_i -)² + S(y_i -_i)² .                                                    (9.20)

 

Dispersijas analīzē parasti kopējo noviržu kvadrātu summu apzīmē ar Q, izskaidroto noviržu kvadrātu summu ar Q_f (faktorālā), bet neizskaidroto - ar Q_z. Tad iepriekšējo sakarību var pierakstīt īsāk

Q=Q_f +Q_z.                                                                                           (9.21)

 

Izteiksmē (9.20) summēšana jāizdara pa visu statistisko kopu. Sakarība nav spēkā pa atsevišķām vienībām kā arī pa kopas daļām.

Sakarība (9.20) rāda, ka rezultatīvās pazīmes individuālo datu noviržu no aritmētiskā vidējā kvadrātu summa sastādās no divām daļām:

 

·         teorētisko lielumu noviržu no vidējā aritmētiskā kvadrātu summas;

·         faktisko lielumu (datu) noviržu no teorētiskajiem lielumiem kvadrātu summas.

 

Pirmais saskaitāmais raksturo teorētisko lielumu variāciju ap vidējo, tātad to rezultatīvās pazīmes variācijas daļu, kas saistīta ar faktorālās pazīmes izmaiņām. Otrs saskaitāmais - faktisko datu variāciju ap teorētiskajiem, tātad to variācijas daļu, kas nav saistīta ar faktorālās pazīmes izmaiņām. Variāciju šajā gadījumā mērī ar noviržu kvadrātu summām. Pirmo daļu sauc par izskaidroto, bet otru par neizskaidroto jeb atlikuma noviržu kvadrātu summu.

Līdzīga sakarība ir starp dispersijām. Dalot sakarības (9.20) visus locekļus ar kopas vienību skaitu n, iegūst dispersijas:

 

,

kur =s²_y - visa jeb parastā rezultatīvās pazīmes dispersija;

 - izskaidrotā dispersija;

 - neizskaidrotā jeb atlikuma dispersija.

 

Līdz ar to visa dispersija ir sadalīta izskaidrotajā un neizskaidro­tajā daļā

 

s²_y+ ,                                                                                    (9.22)

kas atbilst dispersiju saskaitīšanas teorēmai.

 

Piezīme. Šī sakarība ir pilnīgi precīza, ja apstrādā ģenerālkopas datus, tāpat, ja, apstrādājot izlases datus, neņem vērā brīvības pakāpju skaita zudumus. Ja tos ņem vērā, tad kopējo dispersiju aprēķina ar n-1 brīvības pakāpēm, bet izskaidroto un neizskaidroto dispersiju (ja regresijas vienādojumā ir divi parametri) - ar n-2 brīvības pakāpēm. Dalot sakarības (9.20) kreiso pusi ar n-1, bet labo ar n-2, sakarība kļūst aptuvena un precīzāka tad, ja n ir samērā liels skaitlis.

Salīdzinot izskaidroto un neizskaidroto dispersiju, var spriest par sakarību ciešumu. Jo lielāka ir izskaidrotā un mazāka ir neizskaidrotā dispersija, jo sakarība ir ciešāka un otrādi.

Parasti aprēķina kopējo un neizskaidroto dispersiju. Izskaidroto dispersiju atrod, atņemot neizskaidroto dispersiju no kopējās dispersijas. Jo s²_y+.

Neizskaidroto jeb atlikuma dispersiju, izmantojot izlases datus, var aprēķināt ar iepriekšminēto formulu (definīcijas formula):

 

,                                                                          (9.23)

bet tās nenobīdītu vērtējumu ar formulu    .                                           (9.24)

 

Minētās formulas uzskatāmas par pamatformulām, jo viņu saturs atbilst definīcijai. No skaitļošanas darba samazināšanas viedokļa izdevīgāk lietot pārveidotas formulas, kuras neprasa aprēķināt faktisko datu novirzes no teorētiskajiem lielumiem visām kopas vienībām. Izdevīgi lietot šādu formulu:

 

Q_z=Sy²-aSy-bSxy                                                                               (9.25)

un

.                                                                                        (9.26)

 

Formulas (9.25) lietošanai nepieciešamās summas Sy un Syx ir aprēķinātas agrāk, jo tās nepieciešamas, sastādot normālvienādojumu sistēmu. Lielumi a un b ir regresijas parametri, kuri aprēķināti no iepriekš minētās normālvienādojumu sistēmas. Summa Sy² ir jāaprēķina korelācijas koeficienta un vērtējuma standartkļūdas noteikšanai. To nav grūti izdarīt, izstrādājot kopējo darba tabulu.

Izmantojot 9.5. tabulas datus, var aprēķināt visas dispersijas apskatītajam piemēram, t. i., regresijas vienādojumam =6,64+0,2381x, kurš modelē pārtikas izdevumu atkarību no mājsaimniecību ienākumiem.

Kopējo jeb parasto noviržu kvadrātu summu un dispersiju aprēķinām ar momentu formulām:

Q=Sy²-= 4179,482 (mērvienības nav);

s²_y==208,974 (mērvienības nav);

s_y= =14,46 (lati).

Neizskaidroto noviržu kvadrātu summu un dispersiju aprēķinām ar formulām (9.25) un (9.26):

 

Q_z=19609,05-6,6439×555,51-0,238096×64604,28= =536,278 (mērvienības nav);

 

s²_y×x==26,814 (mērvienības nav);

 

Izskaidroto dispersiju atrod kā kopējās un neizskaidrotās dispersijas starpību d²_y×x=s²_y-s²_y×x=208,974-26,814=182,160. (skat. (9.22))

 

Kad tas ir izdarīts, aprēķinu pārbaudes nolūkos var izskaitļot deter­minācijas koeficientu kā izskaidrotās un kopējās dispersijas attiecību.

 

D==0,87169.

 

Tas sakrīt ar iepriekš aprēķināto korelācijas koeficienta kvadrātu. Pēdējie zīmīgie cipari var atšķirties dažādu starprezultātu noapaļojumu rezultātā.

 

 

9.4.3 Vērtējuma standartkļūda un robežkļūda.

 

Ja mēģinātu interpretēt noviržu kvadrātu summas un dispersijas, tām būtu jāuzrāda kā formāla mērvienība sākotnējās rezultatīvās pazīmes vienības kvadrāts. Bet nav profesionālas jēgas latiem kvadrātā vai kilogramiem kvadrātā. Šādai formālai mērvienībai ir sava nozīme tikai tad, ja grib mainīt sākotnējo vienību, piemēram, pāriet no kilogramiem uz centneriem. Tad vidējie un citi ar šo vienību saistītie lielumi ir jādala ar 100, bet dispersijas un noviržu kvadrātu summas ar 100²=10000.

Lai iegūtu ar reālu vienību saistītus rādītājus, no visām dispersijām aprēķina kvadrātsaknes.

Kvadrātsakne no parastās dispersijas ir statistikā labi pazīstamā standartnovirze jeb vidējā kvadrātiskā novirze:

 

s_y=.

 

Analogi kvadrātsakne no neizskaidrotās dispersijas ir vērtējuma pēc regresijas vienādojuma standartkļūda, kuru vienkāršāk sauc par vērtējuma standartkļūdu. To sauc arī par atlikuma standartkļūdu

 

 s_y×x=                                                                       (9.27)

un

.                                                                                           (9.28)

 

Piemērā pārtikas izdevumu vidējā kvadrātiskā novirze ir s_y==14,46 (lati), bet vērtējuma standartkļūda s_y×x==5,18(lati). Pēdējās īpatsvaru (daļu) no pirmās nerēķina. Tādu īpatsvaru rēķina, izmantojot atbilstošās dispersijas.

Vērtējuma standartkļūdas īpašības un lietošana.

Vērtējuma standartkļūda ir neizskaidrotās variācijas absolūtā lieluma mērs. Tā ir nosaukts skaitlis un izteikta rezultatīvās pazīmes mērvienībās. Vienā piemērā - latos, otrā - kilogramos.

Ja sakarības starp pētāmām pazīmēm nav, tad regresijas vienādojums var nesaturēt faktoru - argumentu x un regresijas vienādojumu var pierakstīt formā =a, kur a=. Tādā gadījumā izskaidrotā dis­persija ir nulle un neizskaidrotā vienāda ar kopējo dispersiju. No tā seko, ka s_y×x£ s_y.

Ja sakarības starp pētāmām pazīmēm ir funkcionālas, tad visas starpības y_i-_i ir nulles. Korelācijas diagrammā visi punkti atrodas uz regresijas līnijas. Visu rezultatīvās pazīmes y variāciju izskaidro fak­torālās pazīmes x variācija. No tā seko, ka s_y×x³0.

Līdz ar to vērtējuma standartkļūda vienmēr atrodas apgabalā, ko ierobežo dubultnevienādība:

 

0£ s_y×x£s_y.                                                                             (9.29)

 

Ja sākotnējie dati veido normālu vai tam tuvu sadalījumu, tad arī starpības y_i-_i veido normālu vai tam tuvu sadalījumu. Tādā gadījumā vērtējuma standartkļūdu var interpretēt, izmantojot normālā sadalījuma īpašības. Pareizinot standartkļūdu ar varbūtības koeficientu t_p, iegūst robežkļūdu D_y×x:

D_y×x=t_p×s_y×x.                                                                                (9.30)

 

Varbūtības koeficients t_p brīvi izvēlētām varbūtībām P ņem no normālā sadalījuma tabulām, ja izlase ir liela, vai no Stjūdenta t tabulām, ja izlase maza.

Atskaitot un pieskaitot robežkļūdu rezultatīvās pazīmes teorētiska­jiem lielumiem, dabūjam vērtējuma apgabala robežas. Starp šīm robežām ir ietverts vērtējuma apgabals. Vērtējuma apgabalu var pierakstīt šādi:

 

_i -D_y×x£ y_i£_i+D_y×x                                                                                   (9.31)

 

Vērtējuma apgabala jēdziens kļūst skaidrāks, aplūkojot tā ģeometrisko attēlu.

Vērtējuma robežas var attēlot korelācijas diagrammā ar taisnēm. Šīs taisnes ir paralēlas regresijas taisnei un atrodas no tās, mērot pa vertikāli, robežkļūdas attālumā (skat. 9.11. attēlu).

Ja vērtējuma apgabalu nosaka ar varbūtību 0,683, tad lielas izlases gadījumā varbūtības koeficients ir viens un robežkļūda vienāda ar standartkļūdu D_y×x=s_y×x. Ja korelācijas diagrammā novelk regresijas taisnei divas paralēlas taisnes, kuras atrodas, mērot pa vertikāli, vienas standartkļūdas attālumā, tad starp tām teorētiski jāatrodas ap 68% punktu korelācijas diagrammā, pie tam pa katru pusi no regresijas taisnes aptuveni 34%  (skat. 9.11. attēlu).

Ja regresijas līnijai novelk divas paralēlas taisnes divu standartkļūdu attālumā (D_y×x=2s_y×x), tad starp tām jāatrodas aptuveni 95,4% novērojumu. Starp divām paralēlām taisnēm trīs standartkļūdu attālumā (D_y×x=3s_y×x) jāatrodas praktiski visām atzīmēm korelācijas diagrammā.

Šīs īpašības var izmantot grafiskās un matemātiskās analīzes rezultātu savstarpējai salīdzināšanai un pārbaudei.

 

 

9.11. attēls. Vērtējuma pēc regresijas vienādojuma robežkļūdu grafisks attēls.

 

Neizskaidrotās dispersijas un vērtējuma standartkļūdas nenobīdītos vērtējumus lieto tad, ja secinājumus grib attiecināt nevien uz apstrādāto datu kopu, bet uz ģenerālkopu no kuras apstrādātie dati ņemti kā gadījumizlase. Tad jārēķinās, ka vērtējuma kļūda var būt lielāka nekā iepriekš aprēķināts, īpaši ja izlase ir maza. Lai to fiksētu, izdara vajadzīgo rādītāju korekciju ar t. s. brīvības pakāpju skaita zudumu.

Neizskaidrotā dispersija pēc šādas korekcijas būs =26,814=29,793, bet vērtējuma standartkļūda =5,46 (lati).

Vērtējuma standartkļūdas ekonometrisku lietojumu parādīsim, izmantojot lauksaimniecības piemēru, jo saimnieciskās darbības analīzē šis lietojums ir uzskatāmāks.

Iepriekš aprēķinājām, ka kādas saimniecības teorētiski sagaidāmais izslaukums vidēji no govs ir 3783 kg, bet faktiski iegūtais izslaukums ir 3600 kg gadā, tātad ražošanas potenciāls nav izmantots par 183 kg. Palika neatbildēts jautājums, vai šī negatīvā novirze ir uzskatāma par tik lielu, lai saimniecisko darbību vērtētu krasi negatīvi, vai tā ir tik maza, ka viņu var uzlūkot vienkārši kā nejaušu faktoru darbības rezultātu.

Vienkāršākajā gadījumā šo novirzi salīdzina ar vērtējuma standartkļūdu. Ja faktiskā novirze pārsniedz standartkļūdu, tā jāvērtē kā būtiska, ja nē - to var uzskatīt kā nejaušību.

Vērtējuma standartkļūda aprēķinos izmantotai izslaukuma funkcijai ir s_y×x=189kg, bet tās nenobīdītais vērtējums kg. Faktiskā novirze ir nedaudz mazāka par šo lielumu. Tātad konkrētās saimniecības darbs ir jāvērtē kā tuvs kritiski negatīvam, tomēr šajā kritiskajā apgabalā nenonāk.

Ja grib precīzāku atbildi, var aprēķināt kāda ir varbūtība, ka saimnieciskais darbs būs tik slikts vai sliktāks, kā atzīmēts vērtējamā saimniecībā.

Šim nolūkam jāaprēķina varbūtības koeficients t==-0,92 un jāatrod normālā sadalījuma tabulās varbūtība, ka punkts atradīsies ārpus šī koeficienta izdalītā apgabala (vienpusējs kritērijs) P=0,5-y(0,92)=0,5-0,321=0,18.

Tik sliktu spēkbarības izmantošanu, kāda bijusi šajā saimniecībā, vai vēl sliktāku var sagaidīt ar varbūtību 0,18.

Citiem vārdiem tik slikta un vēl sliktāka spēkbarības izmantošana ir raksturīga 18% saimniecību.

 

 

 

Šādi un līdzīgi ražošanas potenciāla un tā izmantošanas vērtējumi tirgus ekonomikas apstākļos ir vajadzīgi:

 

·         uzņēmuma vadītājam sava darba pašvērtēšanai;

·         kredītu pieprasījumu pamatošanai un šo pieprasījumu ekspertīzei;

·         saimniecības ienesības un vērtības noteikšanai pirkšanas - pārdošanas gadījumā u. c.

 

 

9.5. Vienkāršās regresijas un korelācijas rādītāju izlases kļūdas
        un nulles hipotēžu pārbaude

 

9.5.1. Regresijas koeficienta standartkļūda un robežkļūda

 

Regresijas vienādojumu un korelācijas koeficientu bieži aprēķina pēc izlases datiem. Ir lietderīgi uzskatīt, ka regresijas un korelācijas rādītāji aprēķināti pēc izlases datiem arī tad, ja īstenībā izmantoti ģenerālkopas dati, jo parasti mūs neinteresē vienkārša faktu konstatācija ierobežotā ģenerālkopā, bet vispārēja likumsakarība, kas saista pētāmos objektus un parādības. Šādā gadījumā statistiskie secinājumi jāattiecina uz iedomātu hipotētisku ģenerālkopu, kura vienmēr ir plašāka, nekā aptver savāktie dati.

Līdzīgi, kā dara, vērtējot aritmētisko vidējo, var iedomāties, ka no vienas un tās pašas ģenerālkopas ņemtas daudzas viena lieluma izlases un katrai aprēķināts savs regresijas vienādojums. Šie regresijas vienādojumi, protams, būs atšķirīgi. Atšķirības rada nenovēršama izlases kļūda.

Pēc daudzu no vienas kopas ņemtu vienāda lieluma izlašu datiem aprēķinātie regresijas koeficienti, tāpat kā aritmētiskie vidējie, veido sadalījumu, kurš tuvs normālajam, ja vien pētāmā kopa pēc abām saistītajām pazīmēm aptuveni atbilst normālā sadalījuma likumam un izlašu lielums ir pietiekami liels. Tādēļ regresijas koeficienta izlases kļūdas vērtēšanā var izmantot parasto shēmu un Stjudenta sadalījuma tabulas.

Ievērojot šos nosacījumus, regresijas koeficienta standartkļūda ir tieši proporcionāla regresijas vienādojuma vērtējuma standartkļūdai  un apgriezti proporcionāla faktorālās pazīmes standartkļūdei s_x un kvadrātsaknei no izlases kopas vienību skaita :

.                                                                 (9.32)

 

Regresijas koeficienta robežkļūdu  aprēķina, pareizinot standartkļūdu ar varbūtības koeficientu t_p:

= t_p×.                                                                    (9.33)

Ja tas nerada pārpratumus, apzīmējumus var vienkāršot, apzīmējot regresijas koeficienta standartkļūdu ar s_b, robežkļūdu ar D_b.

 

Regresijas koeficienta vērtējuma robežas ar izvēlētajām varbūtībām P₁ un P₂ ir

 

b -D_b£ b £b+D_b,                                                                      (9.34)

 

kur b - ģenerālās kopas regresijas koeficients, kura nezināmo lielumu vērtējam.

 

Ja P₁ = P₂, tad var izmantot abpusējās integrālās tabulas, ja P₁ ¹ P₂, jāizmanto vienpusējās tabulas, un varbūtību koeficienti apakšējai un augšējai robežai jānosaka patstāvīgi.

Regresijas koeficienta robežkļūdas un līdz ar to arī standartkļūdas kā robežkļūdas speciālgadījums, kad t_p = 1, ģeometriska interpretācija ir šāda (9.12. attēls). Ar izvēlēto varbūtību var apgalvot, ka nezināmā ģenerālkopas regresijas taisne atrodas leņķu pārī, kuru virsotnes ir punktā ar koordinātēm ,  un tos veido divas taisnes PP' un QQ' ar leņķu koeficientiem b-D_b un b+D_b. Konstruējot taisnes PP' un QQ', jāizmanto vienādojumi, kuri uzrakstīti mainīgo lielumu novirzēs no vidējiem:

 -  = (b - D_b) (x - ),                                                     

 -  = (b + D_b) (x - ).                                                                  (9.35)

 

 

 

9.12. attēls. Regresijas koeficienta izlases kļūdas grafisks attēls

 

Vienādojumi sākotnējās mērvienībās =a + (b ± D_b)x pareizus rezultātus nedod.

Aprēķināsim dzīves līmeņa piemēra regresijas koeficienta b=0,2381 standartkļūdu. Jau bija aprēķināts  = 5,4583. Vienību skaits izlasē n = 20. Vēl jāaprēķina faktorālās pazīmes standartnovirze, ko ērti izdarīt ar momentu formulu (dati no 9.5. tabulas kopsummas rindas)

 

= 3209,16;

s_x==56,649.

Tagad ir visi skaitļi, ko ietvert regresijas koeficienta standartkļūdas formulā

 

=0,0215.

 

Lai aprēķinātu robežkļūdu, izvēlas varbūtību, ar kuru grib garantēt vērtējuma apgabala pareizību. Tā, piemēram, izvēlamies P=0,9 un nosakām simetrisku pieļaujamo apgabalu, jo vienlīdz nozīmīgas ir abos virzienos pieļautās kļūdas. Tad no Stjūdenta sadalījuma kritisko vērtību tabulām var nolasīt, ka varbūtībai 0,9 un 18 brīvības pakāpēm atbilst varbūtības koeficients t_p=1,73. Līdz ar to saskaņā ar formulu (9.33)

 

Db=1,73×0,0215=0,0372.

Vērtējamais regresijas koeficients b ar varbūtību 0,9 sagaidāms robežās, ko nosaka dubultnevienādība (9.34)

0,2381-0,0372 £ b £ 0,2381+0,0372;

0,2009£ b £ 0,2753.

 

Ar varbūtību 0,9 var sagaidīt, ka atbilstošais regresijas koeficients ģenerālkopā, no kuras ņemta izlase, nav mazāks par 0,2009 un nav lielāks par 0,2753.

Piemēra ietvaros ar varbūtību 0,9 var sagaidīt, ka pieaugot iedzīvotāju ienākumiem, rēķinot uz vienu mājsaimniecības locekli par 1 latu, papildus izdevumi pārtikas produktu iegādei nebūs mazāki par 20 santīmiem un nebūs lielāki par 28 santīmiem.

Izlases kļūdas iznāca samērā lielas tādēļ, ka izlase mācību nolūkos ņemta ļoti maza. Reālos ekonometrijas pētījumos parasti jāņem dažus simtus vai tūkstošu vienību lielas izlases.

 

 

9.5.2. Regresijas vienādojuma brīvā locekļa standartkļūda un robežkļūda

 

Pēc izlases datiem noteikta regresijas taisne arī pēc novietojuma (pacēluma) virs abscisu ass atšķirsies no analogas taisnes, kas aprēķināta pēc ģenerālkopas datiem. Tas nozīmē, ka arī regresijas vienādojuma brīvais loceklis satur izlases kļūdu.

 

Regresijas vienādojuma brīvā locekļa standartkļūdu aprēķina ar formulu

.                                                                (9.36)

 

Iepriekšējā piemēra regresijas vienādojuma brīvā locekļa 6,64 standartkļūda ir

 

= 1,22.

 

Regresijas vienādojuma (9.13. attēls) brīvā locekļa standartkļūdu ģeometriski var interpretēt šādi. Ar varbūtību 0,68 (t_p = 1) var sagaidīt, ka vienādojuma brīvā locekļa kļūdas dēļ ģenerālkopas regresijas taisne atrodas starp divām izlases regresijas taisnei paralēli novilktām taisnēm, kuras atrodas no izlases regresijas taisnes s_a attālumā, mērot pa vertikāli.

 

 

9.13. attēls. Regresijas vienādojuma brīvā locekļa izlases kļūdas grafisks attēls

 

Šī standartkļūda ir jāatšķir no vērtējuma pēc regresijas vienādojuma standartkļūdas s_y×x. Vienādojuma brīvā locekļa standartkļūda atspoguļo izlases kļūdu, un tā samazinās, palielinot izlases vienību skaitu, bet vērtējuma standartkļūda s_y×x atspoguļo neizskaidroto variāciju un no izlases lieluma praktiski nav atkarīga.

Regresijas vienādojuma brīvā locekļa robežkļūdu atrod kā parasti, pareizinot standartkļūdu ar varbūtības koeficientu. Ja ņem to pašu varbūtību, ko izmantojām regresijas koeficienta vērtēšanā, 0,9 tad

 

=t_p × s_a = 1,73 × 1,22 = 2,11.

 

Nezināmā ģenerālkopas vienādojuma brīvā locekļa a vērtējuma robežas un apgabals ir šādi:

a -  £ a £ a + ;

Piemērā

6,64 - 2,11 £ a £ 6,64 + 2,11;

4,53 £ a £ 8,75.

 

 

 

5.3 Regresijas vienādojuma un vērtējuma pilnā kļūda

 

Zinot regresijas vienādojuma koeficienta un brīvā locekļa izlases kļūdu aprēķināšanas metodes, var izvirzīt jautājumu par visa regresijas vienādojuma kopējās izlases kļūdas aprēķināšanu. Tas nozīmē, ka jānosaka standartkļūdas un robežkļūdas teorētiskiem lielumiem, kas saistīti ar noteiktām faktorālās pazīmes vērtībām.

Regresijas vienādojumu, kurš ir teorētisko lielumu aprēķināšanas formula, var pierakstīt šādā veidā:

= +b(x -)                                                         (skat. (9.12)).

 

No tā redzams, ka teorētisko lielumu  izlases kļūda ietver vidējā lieluma  un regresijas koeficienta izlases kļūdas. Vidējā lieluma kļūdu šajā gadījumā var samazināt līdz regresijas vienādojuma brīvā locekļa kļūdai.

No dispersiju saskaitīšanas teorēmas ir zināms, ka apvienoto kļūdu šādos gadījumos var iegūt, summējot atsevišķo kļūdu kvadrātus. Bez tam ir zināms, ka konstanta lieluma un mainīga lieluma reizinājuma dispersija ir vienāda ar mainīgā lieluma dispersiju, pareizinātu ar konstantā lieluma kvadrātu. Tātad regresijas standartkļūdas kvadrāts  ir šāds:

=+(x - )² .                                                                 (9.37)

 

Ievietojot izteiksmē (9.37) abu jau iepriekš aprēķināto kļūdu vērtības no formulām (9.32) un (9.36), iegūstam:

=(x - )² .                                                 (9.38)

 

Ņemot vērtējuma standartkļūdu  ārpus iekavām un aprēķinot no abām pusēm kvadrātsakni, iegūstam regresijas vienādojuma standartkļūdas (izlases kļūdas) formulu:

=.                                                 (9.39)

 

Šī standartkļūda ir jāatšķir no vērtējuma pēc regresijas vienādojuma standartkļūdas s_y×x. Regresijas standartkļūda  atspoguļo izlases kļūdu, un to lieto tikai tad, ja apstrādājamos datus uzskata par izlasi; vērtējuma standartkļūda s_y×x atspoguļo neizskaidroto variāciju, un tā jāņem vērā vienmēr, kad pētāmās sakarības ir korelatīvas.

No formulas (9.39) redzams, ka pie fiksētiem pārējiem lielumiem regresijas izlases kļūda samazinās, palielinot izlases lielumu n. Robežgadījumā, ja n®¥, šī kļūda tiecas uz nulli. Fiksējot nemainīgā līmenī visus pārējos lielumus, izlases kļūda ir atkarīga no faktorālās pazīmes x vērtībām. Tā palielinās, palielinoties novirzes (x - ) absolūtajai vērtībai. Līdz ar to regresijas standartkļūdu nevar izteikt ar vienu skaitli; katrai argumenta vērtībai tā ir citāda.

Regresijas standartkļūdu var attēlot ģeometriski ar divām liektām līnijām (9.14. attēls). Līniju attālumu no regresijas taisnes, mērot pa vertikāli, nosaka formula (9.39).

 

 

9.14. attels. Regresijas vienādojuma izlases kļūdas grafisks attēls.

 

Regresijas robežkļūdu aprēķina parastā kārtībā, pareizinot standartkļūdu ar varbūtības koeficientu.

Vērtējuma pilnās kļūdas kvadrātu, atbilstoši dispersiju saskaitīšanas teorēmai, aprēķina, summējot vērtējuma standartkļūdas s_y×x kvadrātu un regresijas vienādojuma standartkļūdas  kvadrātu:

=+.                                                           (9.40)

 

Ievietojot šajā izteiksmē  vietā tā nozīmi no iepriekšējās formulas, ņemot  ārpus iekavām un no abām pusēm aprēķinot kvadrtātsakni, iegūstam vērtējuma pilnās kļūdas formulu:

 

=.                                        (9.41)

 

Formula (9.41) no (9.39) atšķiras ar pozitīvu vieninieku zemsaknes izteiksmē. To loģiskā atšķirība ir šāda. Neierobežoti palielinot izlases lielumu n, var panākt pēc patikas mazu izlases kļūdu. Šādā gadījumā regresijas standartkļūda (9.39) tiecas uz nulli. Bet ar šādu paņēmienu nevar samazināt neizskaidroto variāciju. Tādēļ vērtējuma pilnā kļūda, neierobežoti palielinot izlases lielumu, tiecas uz vērtējuma standartkļūdu s_y×x. Šajā gadījumā zūd tā kļūdas daļa, ko radījusi izlases metodes lietošana, bet paliek tā daļa, ko neizskaidro regresijas vienādojums, resp., faktorālās pazīmes variācija.

 

Vērtējuma pilno robežkļūdu atrod, vērtējuma pilno standartkļūdu (9.41) pareizinot ar varbūtības koeficientu.

 

Vērtējuma pilnās standartkļūdas un robežkļūdas norobežoto apgabalu var attēlot grafiski ar divām liektām līnijām (9.15. attēls), kuras atrodas abās pusēs regresijas taisnei, bet tālāk no tās, salīdzinot ar atbilstošajām regresijas izlases kļūdu līnijām.

 

 

 

9.15. attēls. Vērtējuma pēc regresijas vienādojuma pilnās kļūdas grafisks attēls.

 

Regresijas vienādojuma izlases kļūdu un regresijas vienādojuma pilno kļūdu lieto tad, ja ir nepieciešams precīzāk izvērtēt ar regresijas vienādojumu aprēķinātos rezultatīvās pazīmes teorētiskos lielumus.

Ja vien izlase nav ļoti maza, tad ar regresijas vienādojumu neizskaidrotā variācija parasti ir daudz lielāka nekā pašas regresijas izlases kļūda. Tādēļ parasti, ja precizitāte nav vajadzīga sevišķi liela, aprobežojas ar vērtējuma pēc regresijas vienādojuma standartkļūdu un robežkļūdu, kuras aprēķināt daudz vienkāršāk.

Regresijas vienādojuma izlases kļūda un regresijas pilnā kļūda ir vairāk vajadzīgas, ja regresijas vienādojumu kā modeli izmanto ārpus faktisko datu variācijas apgabala t. s. ekstrapolācijas apgabalā. Tad, pieaugot novirzēm x - , regresijas vienādojuma izlases un pilnā kļūda jau ievērojami atšķiras no parastās vērtējuma standartkļūdas. Precīzākās formulas tad uzskatāmi parāda, ka šāda ekstrapolācija ir daudz nedrošāka nekā vērtējumi faktisko datu variācijas apgabalā.

 

 

9.5.4 Korelācijas koeficienta izlases vērtējuma apgabals

 

Standartkļūda ir objektīvs izlases kļūdas lieluma mērs tad, ja rādītājs, kam to aprēķina, izlases atkārtojot, veido normālu sadalījumu. Tāda īpašība ir aritmētiskam vidējam, regresijas koeficientam un daudziem citiem rādītājiem. Pirmais priekšnoteikums, lai sadalījums varētu būt normāls, ir vērtējamā rādītāja neierobežots variācijas apgabals.

Ja no vienas un tās pašas ģenerālkopas ņem daudzas vienāda lieluma izlases un katrai no tām aprēķina korelācijas koeficientu, tad šie koeficienti veido sadalījumu, kurš ir atšķirīgs no normālā sadalījuma. Korelācijas koeficienti nevar veidot normālu sadalījumu tādēļ, ka to iespējamās vērtības ir samērā šaurā apgabalā -1 £ r £ +1. Izlases korelācijas koeficientu sadalījums sevišķi stipri novirzās no normālā sadalījuma tad, ja korelācijas koeficients ģenerālkopā ir augsts. Pieņemsim, ka tas ir 0,9. Tālāk var pieņemt, ka pusē no izlasēm iegūstam lielāku un pusē mazāku izlases korelācijas koeficientu nekā tas ir ģenerālajā kopā, 50% gadījumos izlases korelācijas koeficientam jābūt robežās 0,9 < r < 1,0, un 50% gadījumos tas var izkliedēties robežās -1 < r < 0,9. Tāds sadalījums ir krasi asimetrisks, un tā pētīšanai normālā sadalījuma īpašības izmantot nevar. (9.16. attēls)

Lai aprēķinātu korelācijas koeficienta vērtējuma robežas, var izmantot pārveidojumu, kuru ieteicis Ronalds Fišers. Viņš pierādījis, ka funkcijai z, kuras arguments ir korelācijas koeficients, sadalījums ir ļoti tuvs normālajam. Funkcija z dota ar formulu (9.42).

 

z =.                                                                          (9.42)

 

Aprēķinu vispārējā shēma ir šāda:

 

1. Aprēķina vai nolasa speciālās tabulās funkcijas z vērtību, kura atbilst pēc izlases datiem aprēķinātajam korelācijas koeficientam r (formula 9.42).

 

2. Aprēķina funkcijas z standartkļūdu, izmantojot formulu:

s_z = .                                                                            (9.43)

 

3. Zinot, ka funkcijai z ir normāls sadalījums, nosaka tās vērtējuma robežas:

 

z - t_p s_z ££ z + t_p s_z.                                                               (9.44)

 

4. Aprēķina vai nolasa speciālās tabulās z augšējai un apkšējai robežai atbilstošos korelācijas koeficientus, kuri arī ir meklētās vērtējuma robežas. Aprēķinam izmanto inverso formulu

 

r =                                                                               (9.45)

 

Pārtikas izdevumu piemērā korelācijas koeficients r bija 0,9336.

1.Aprēķinām atbilstošo z funkciju z == 1,6857.

 

2.Aprēķinām z izlases standartkļūdu s_z = = 0,2425.

9.16. attēls. Hipotētisks izlases korelācijas koeficienta

        r sadalījums, ja ģenerālkopas korelācijas koeficients r = 0.9

 

3. Saglabājot iepriekš izmantoto varbūtību 0,9 un tai atbilstošo varbūtības koeficientu 1,73, aprēķinām funkcijas z vērtējuma apgabalu.

 

1,6857- 1,73 × 0,2425 << 1,6857 + 1,73 × 0,2425;

1,2662<< 2,1052.

 

4. Izdarām inverso transformāciju no z robežām uz r robežām :

r_min = =0,8528;

r_max = =0,9708.

 

5. Pierakstām korelācijas koeficienta vērtējuma apgabalu ģenerālajā kopā. Vērtējamo ģenerālkopas korelācijas koeficientu apzīmē ar grieķu burtu r (ro) : 0,8528£r£0,9708.

 

Izdarot aprēķinu loģisko pārbaudi, jāpārliecinās, vai izlases korelācijas koeficients 0,9336 atrodas atrastajā vērtējumu apgabalā.

Tātad ar varbūtību 0,9 var apgalvot, ka iedzīvotāju naudas ienākumus un izdevumus pārtikas iegādei tajā ģenerālajā kopā, no kuras ņemta izlase, saista korelācija ar sakarību ciešumu ne mazāku kā r = 0,85 un ne lielāku ka r = 0.97.

9.5.5. Nulles hipotēžu pārbaude

 

Dažreiz nav nepieciešams aprēķināt regresijas un korelācijas koeficientu vērtējumu robežas, bet pietiek pārbaudīt, vai pētītās sakarības ir statistiski nozīmīgas. Šajā nolūkā izvirza hipotēzes, saskaņā ar kurām attiecīgie koeficienti ģenerālajā kopā ir nulles, un pārbauda, vai pēc izlases datiem aprēķinātie rādītāji atbilst šīm hipotēzēm.

Nulles hipotēzi, kas apgalvo, ka korelācijas koeficients ģenerālkopā ir nulle, var pārbaudīt, izmantojot gatavas skaitļošanas tabulas. Tabulās ir norādītas korelācijas koeficienta kritiskās robežas, kuras empīriskajam korelācijas koeficientam pārsniedzot, nulles hipotēzi noraida. Kritiskās robežas ir tabulētas n = n - k brīvības pakāpēm, kur n - kopas vienību, bet k - vienādojuma parametru skaits (pāru sakarību vienādojumā 2).

Mūsu piemērā n = n - k = 20 - 2 = 18. Tam atbilst šādas kritiskās robežas: varbūtībai
0,95 (a = 0,05) - 0,444; varbūtībai 0,99 (a = 0,01) - 0,561. Pēc statistiskajiem datiem aprēķinātais r = 0,9336 ir daudz lielāks. Tātad nulles hipotēzi var noraidīt ar vēl augstāku varbūtību. Līdz ar to sakarības ir statistiski nozīmīgas.

Nulles hipotēzi var izvirzīt arī par regresijas koeficientu. Tādā gadījumā empīriskā t attiecība ir šāda:

t = ,                                                                             (9.46)

bet saskaņā ar hipotēzi b = 0, tādēļ

 

t = .                                                                                  (9.47)

 

Atrasto t salīdzina ar Stjūdenta sadalījuma kritiskajām robežām un pieņem lēmumu vispārējā kārtībā. Iepriekšējam piemēram b = 0,2381; s_b = 0,0215; t == 11,07.

 

Ja vēlamies nulles hipotēzi pārbaudīt ar varbūtību 0,99, tad atbilstoši 18 brīvības pakāpēm Stjudenta tabulās atrodam kritisko robežu t_a = 2,87. Tā kā empīriskais t ir daudz lielāks par t kritisko robežu, nulles hipotēzi var noraidīt ar varbūtību lielāku par 0,99. Izpētītās sakarības ir statistiski nozīmīgas.

Jāatzīmē, ka ekonomikas pētījumos hipotēžu pārbaudē tradicionāli izmantotie kritēriji
P = 0,95 un P = 0,99 ir stipri augsti. Tomēr literatūrā tos plaši lieto, gan tradīcijas dēļ, gan tādēļ, ka šiem kritērijiem piemērotas tabulas visbiežāk sastopamas skaitļošanas tabulu krājumos. Tomēr, ja konkrētais pētījums neprasa tik augstu ticamību, tad vajadzētu izvēlēties zemāku varbūtību.

 

 

9.6. Daži papildjautājumi.

 

9.6.1. Saistītās regresijas

 

Pētot sakarības ekonomikā, parasti samērā viegli noteikt, kura no pētāmām pazīmēm ir neatkarīga un kura atkarīga to savstarpējā mijiedarbībā. Atkarīgos un neatkarīgos mainīgos lielumus nosaka, vadoties no to kvalitatīvajām īpašībām, resp., no zināšanām, ko dod mikro vai makroekonomika, kā arī inženierzinātnes vai lauksaimniecības zinātnes.

Taču nereti nākas sastapties ar statistiskām pazīmēm, kuras atspoguļo tādus notikumus vai parādības, par kurām nevar pateikt, kura no tām ir cēlonis un kura - sekas. Tad nevar izveidot cēloņsakarību ķēdi "faktors - rezultāts". Šāds stāvoklis visbiežāk izveidojas, apstrādājot izmēģinājumu un eksperimentu rezultātus.

Tā, piemēram, ir zināms, ka dažādu vielu saturu augsnē (fosfora, kālija) var noteikt ar vairākām analīžu metodēm. Ja katrā laukā analīze izdarīta ar divām metodēm, tad iegūtie dati ir cieši korelatīvi saistīti. Taču nav iespējams pateikt, kuras analīzes rezultāts ir cēlonis un kuras - sekas. Īstais cēlonis - patiesais fosfora saturs augsnē paliek nezināms. To atspoguļo divi dažādi mērījumi, kuri no cēloņsakarību viedokļa ir vienādi nozīmīgi. Līdzīgus piemērus var atrast citās zinātņu nozarēs.

Šādos gadījumos vienai un tai pašai sakarībai var aprēķināt divus regresijas vienādojumus =a+bx un =a'+b'y. Ja ir zināms viens no šiem vienādojumiem, no tā algebrisku pārveidojumu ceļā nevar atrast otru, jo katrs ir atrasts ar citiem nosacījumiem. Pirmo atrod, minimizējot vertikālo noviržu kvadrātu summu Q_y=S(y-)²®min, bet otro - minimizējot horizontālo noviržu kvadrātu summu Q_x=S(x-)²®min.

Regresijas vienādojumu =a'+b'y un tai atbilstošo taisni grafiskajā attēlā sauc par saistītu ar vienādojumu =a+bx un arī otrādi. Saistīto regresijas taišņu galvenās īpašības ir šādas.

 

1.Ja sakarības starp mainīgajiem lielumiem x un y nav, tad abas taisnes ir savstarpēji perpendikulāras un krustojas punktā ar koordinātēm ; . To vienādojumi ir =a un =a' jeb = un =.

 

2.Ja sakarības ir funkcionālas, tad abas regresijas līnijas sakrīt, resp., vienādojumu =a'+b'y var tieši aprēķināt no vienādojuma =a+bx, un otrādi, algebrisku pārveidojumu ceļā.

 

3.Ja sakarības ir korelatīvas, tad abas taisnes krustojas punktā ar koordinātēm ; , veidojot leņķi a. Leņķis a ir šaurāks, ja sakarības ir ciešākas un otrādi.

 

4.Abas saistītās regresijas raksturojas ar vienu un to pašu korelācijas koeficientu. Turklāt ir spēkā sakarība:

 

r² = b_y×x×b_x×y,                                                                              (9.48)

 

kur b_y×x un b_x×y ir abu saistīto regresijas vienādojumu koeficienti. Šo sakarību var izmantot otras saistītās regresijas atrašanai, ja viena no tām ir zināma.

 

Ja pazīmju cēloņsakarība nav zināma vai nav vismaz izteikta darba hipotēze par šādu cēloņsakarību iespēju, abu saistīto regresijas vienādojumu profesionālās interpretācijas iespējas ir mazas. Korelācijas un determinācijas koeficientu interpretāciajas iespējas nemazinās, jo tie ir simetriski pret abām korelatīvi saistītām pazīmēm.

 

 

9.6.2. Svarīgākie regresijas un korelācijas analīzes priekšnoteikumi

 

Regresijas un korelācijas rādītāju ekonomiskā interpretācija un pēc izlases datiem aprēķināto rādītāju attiecināšana uz ģenerālkopu lielā mērā ir atkarīga no sākotnējās informācijas īpatnībām. Tas pats sakāms par jebkuru citu statistikas rādītāju. Tā, piemēram, aritmētiskais vidējais labi raksturo pazīmes centrālo tendenci, ja sākotnējie dati veido simetrisku sadalījumu ar vienu modālo lielumu. Vislabāk, ja sadalījums ir normāls. Turpretī, ja sākotnējie dati veido multimodālu sadalījumu (viļņveidīgu, u-veidīgu utt.) vai arī sadalījums nav simetrisks (I-veidīgs), aritmētiskajam vidējam trūkst dziļākas ekonomiskas jēgas.

Tāpat arī regresijas un korelācijas rādītāju reālais saturs ir atkarīgs no sāktnējo datu īpašībām. Tādēļ, lietojot korelācijas un regresijas analīzes metodes, kaut vai aptuveni ir jāzina, kādu sadalījumu veido apstrādājamās kopas vienības pēc vienas un otras korelatīvi sastītās pazīmes un kāds ir to kopējais sadalījums. Jānovērtē, vai datu kopā nav krasi atšķirīgas vienības.

Atkarībā no sākotnējās informācijas īpatnībām, izšķir divus uzdevumus un līdz ar to modeļu veidus, kuri atšķiras ar interpretācijas un izmantošanas iespējām.

 

 

Pirmais veids atšķiras ar šādām galvenām īpašībām:

 

·        darba izpildītāja rīcībā ir zinātniska teorija vai hipotēze par pētāmo sakarību cēloņsakarību, resp., ir zināms, kura ir rezultatīvā un kura faktorālā pazīme;

·        faktorālās pazīmes vērtības var noteikt speciālista brīva izvēle. Tas sevišķi raksturīgi organizētos eksperimentos, piemēram, pētot mēslojuma ietekmi uz ražību izmēģinājumu lauciņos, tāpat dažādos inženiertehniskos eksperimentos;

·        neprasa, lai faktorālās pazīmes sadalījums izlasē reprezentē attiecīgu sadalījumu ģenerālkopā;

·        nav izvirzītas nekādas prasības par faktorālās pazīmes sadalījumu;

·        ir nepieciešams, lai katrai fiksētai faktorālās pazīmes x vērtībai atbilstu normāls rezultatīvās pazīmes y sadalījums;

·        teorētiskie jeb aprēķinātie lielumi ģenerālkopā atrodas uz regresijas līnijas;

·        ir nepieciešams, lai rezultatīvās pazīmes y dispersijas visās grupās, kuras izdalītas, grupējot pēc pazīmes x, būtu aptuveni vienādas.

 

Ja sākotnējie dati atbilst šim modelim, tad aprēķinātos sakarību rādītājus var interpretēt un izmantot šādi:

 

·        regresijai =a+bx ir reāla nozīme. Attiecinot to uz ģenerālkopu, pēdējā jāsaprot kā sastādīta no tādām vienībām, kādas veidoja to kopu, kurai aprēķināta regresija (izmēģinājuma apstākļi);

·        saistītai regresijai nav reāla satura un to nevar loģiski interpretēt;

·        korelācijas koeficientam un citiem sakarību ciešuma rādītājiem ir ierobežota nozīme. To vērtējuma robežas, kas aprēķinātas ar augstāk minētām metodēm, nav drošas, jo ir atkarīgas no eksperimentatora izvēlētajām argumenta x vērtībām.

 

Otrais datu modelis klasiskā vaidā raksturojas ar šādām īpašībām:

 

·        teorijas vai hipotēzes par cēloņsakarību dabu var nebūt. Abus saistītos mainīgos var uzlūkot par cēloniski vienādi nozīmīgiem;

·        katru kopas vienību iekļauj izlasē, iepriekš nezinot, kādas ir to x un y vērtības;

·        abi mainīgie lielumi x un y ģenerālkopā veido divu dimensiju normālu sadalījumu;

·        abu mainīgo lielumu x un y sadalījumi izlasē raksturo attiecīgos ģenerālkopas sadalījumus.

 

Šī modeļa gadījumā:

 

·        abām saistītajām regresijām ir vienlīdz reāls saturs, un līdz ar to mazas interpretācijas iespējas;

·        visi sakarību rādītāji izlasē raksturo attiecīgos parametrus ģenerālkopā. Pēdējos var novērtēt, lietojot iepriekš apskatītās vērtējuma robežu noteikšanas metodes;

·        reāla nozīme ir sakarību ciešuma rādītājiem; var aprēķināt drošas korelācijas koeficienta vērtējuma robežas. Tie šajā gadījumā ir galvenie sakarību rādītāji.

 

Ekonomikas pētījumos diezgan reti var izveidot kopu, kura bez atrunām atbilst vienam vai otram no aplūkotajiem modeļiem. Parasti:

 

·        var izvirzīt teoriju vai hipotēzi par sakarību cēloņiem (pirmā modeļa pazīme);

·        faktorālo pazīmju vērtības darba izpildītāji nenoteic brīvi, bet tās rodas izlases rezultātā (otrā modeļa pazīme);

·        abu pazīmju sadalījumi ir diezgan tuvi normālajam, bet pēc stingriem pārbaudes kritērijiem pilnīgi tam neatbilst (otrais modelis ar atrunām).

Tādēļ bieži nākas lietot jauktu modeli. Tādā gadījumā nosacīti lieto visus sakarību rādītājus, tomēr jāievēro, ka tie ir aptuveni. Īpaši reālie vērtējumu apgabali var būt plašāki nekā parāda aprēķini. Tādēļ jāpatur prātā, ka īstie pētījuma rezultāti nav tik precīzi, kā šķietami parāda sakarību rādītāji. Tādēļ nav nozīmes galīgajos rezultātos uzrādīt vairāk par 2 - 3 zīmīgajiem cipariem. Tāpat jāseko, lai apskatītie priekšnosacījumi netiktu rupji pārkāpti, jo tad aprēķinu rezultāti var būt principā nepareizi. Parasti tas notiek tad, ja izlasē ieslēdz vienu vai vairākas vienības, kas krasi izdalās no pārējās kopas. Krasi atšķirīgās kopas vienības pirms datu apstrādes jāizslēdz no kopas. To izdara, vai nu izskatot sākotnējo informāciju ekspertīzes ceļā, vai izmantojot kādus matemātiskus kritērijus.

Viens no grūti izpildāmiem regresijas - korelācijas analīzes priekšnoteikumiem ir homoskedativitāte. Tā nozīmē, ka mainoties faktorālās pazīmes vērtībām nedrīkst sistemātiski mainīties rezultatīvās pazīmes dispersija (precīzāk - grupu dispersija).

Ja šī prasība nav izpildīta, statistikās kopas sadalījums ir heteroskedatīvs un mazāk piemērots regresijas analīzei.

Ekonomikas pētījumos ir raksturīgi, ka, pieaugot faktorālās pazīmes vērtībām, sistemātiski pieaug nevien rezultatīvās pazīmes vidējā vērtība, bet arī dispersija (variācija).

Mērenu heteroskedativāti praksē parasti ignorē un aprēķina regresijas modeļus. Ja šī parādība krasi izteikta, var būt vajadzīgas citas pētīšanas metodes.

Minētajiem priekšnoteikumiem lielu vērību pievērš matemātiskā statistika, kura ir eksakta zinātne un pretendē uz pilnīgi precīziem rezultātiem.

Ekonomterija un citas zinātnes, kas izstrādā un izmanto modeļus, pretendē tikai uz tuvinātiem rezultātiem. Modeļa pamatīpašība ir tā, ka tas atspoguļo tikai pašas galvenās pētāmā objekta vai parādības īpašības, bet ne visas. Tādēļ, izstrādājot modeļus ekonometrijā, minētos un vēl citus priekšnoteikumus tik stingri nepārbauda, kā to paredz matemātiskā statistika.

Tomēr šie priekšnoteikumi ir jāapzina. To rupja ignorēšana var novest pie t.s. melu korelācijas, kas var pilnīgi izkropļot reālo sakarību raksturu.